Utilisation de codes de géométrie algébrique structurés en cryptographie moderne

Using structured algebraic geometry codes in modern cryptography

• Auteur / Autrice : Mathieu Lhotel
• Direction : Philippe [Jean-Georges] Lebacque, Hugues Randriambololona
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 03/07/2023
• Etablissement(s) : Bourgogne Franche-Comté
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Carnot-Pasteur
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques de Besançon (Besançon) - Laboratoire de Mathématiques de Besançon / LMB
• Partenaire(s) de recherche : Etablissement de préparation : Université de Franche-Comté (1971-....)
• Jury : Président / Présidente : Daniel Augot
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Christine Huyghe
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Alain Couvreur, Marc Perret

Mots clés

Mots clés contrôlés

Géométrie algébrique

Cryptographie à clé publique

Mots clés libres

Codes linéaires

Cryptosystème de McEliece

Cryptanalyse

Preuves par oracle intéractif

Linear codes

McEliece cryptosystem

Cryptanalysis

Algebraic geometry

Interactive oracle proofs

Résumé

En 1978, McEliece introduit un nouveau schéma de chiffrement à clé publique basé sur les codes correcteurs d'erreurs. Depuis, il s'est avéré avoir de nombreux avantages, comme un chiffrement et déchiffrement rapide, couplé au fait qu'il soit un bon candidat en cryptographie post-quantique. La principale contrainte est qu'il impose des tailles de clé trop grosses comparées aux autres systèmes de chiffrement à clé publique actuels. Dans ce contexte, nous étudions la sécurité de certaines variantes du schéma de McEliece, basées sur des sous-codes de codes de géométrie algébrique (SSAG). Plus précisément, nous montrons que la structure secrète du code SSAG public peut être récupérée à partir du celle de son sous-code invariant, qui a de plus petits paramètres.Initialement fondée sur les codes de Goppa classique, la proposition initiale de McEliece est encore considérée comme sécurisé aujourd'hui. Tenant compte de ce fait, nous définissons une nouvelle famille de codes : les codes AG Goppa-like. L'idée est de copier la structure algébrique des codes de Goppa hérité du choix du multiplicateur, tout en considérant des courbes de genre supérieur, permettant de construire de plus longs codes. Se concentrant sur les codes à un point sur des courbes C_{a,b}, nous étudions le comportement de la dimension du carré de leur dual pour évaluer leur résistance aux attaques par distingueur. Comme cette famille peut être encodée rapidement, il s'agit d'un bon candidat pour remplacer les codes de Goppa classiques.Dans le contexte des preuves par oracle interactif (IOPs), nous engageons l'étude de tests de proximité à des codes AG. Le problème de tester la proximité à un code C consiste à distinguer le cas ou un mot donné en entrée appartient à C du cas où il en est très éloigné. Dans le but de généraliser le protocole FRI s'appuyant sur les codes de Reed-Solomon, nous proposons un cadre valide pour définir un IOP de Proximité aux codes AG (AG-IOPP). Comme exemple concret, nous nous concentrons sur les codes construits à partir d'une tour de courbes Hermitiennes, qui peuvent être définis sur un alphabet de taille polylogarithmique. Nous donnons également une famille de codes repliables dont l'AG-IOPP correspondant atteint une complexité quasilinéaire pour le prouveur et polylogarithmique pour le vérifieur.

In 1978, McEliece introduced a new public-key cryptosystem, based on error-correcting codes. Since then, it has demonstrated to have a lot of advantages, such as a fast encryption and decryption, in addition to the fact that it is a good candidate for post-quantum cryptography. The main constraint is that it imposes large keys sizes compared with other actual public-key cryptosystems. In this context, we study the security of variants of McEliece's encryption schemes based on structured subfield subcode of algebraic geometry codes (SSAG). More precisely, we show that the underlying secret structure of the public SSAG can be recovered from that of its invariant code, which has smaller parameters.Initially based on the family of classical Goppa codes, the first proposal of McEliece is still considered secure today. Taking this into account, we define a new family of codes: Goppa-like AG codes. The idea is to mimic the algebraic structure of Goppa codes inherited from the choice of the multiplier while considering higher genus curves, which allows to construct longer codes. Focusing one one-point codes from C_{a,b} curves, we study the behavior of the square of their dual to determine their resistance to distinguisher attacks. As this family can be efficiently encoded, it is a good candidate to replace classical Goppa codes.In the context of Interactive Oracle Proofs (IOPs), we initiate the study of proximity tests to AG codes. The problem of testing proximity to a code C consists in distinguishing between the case where an input word belong to C and the case where it is far from it. Aiming to generalize the FRI protocol based on Reed-Solomon codes, we give valid setting to design an efficient IOP of Proximity to AG codes (AG-IOPP). As concrete instantiation, we focus on AG codes arising from a tower of Hermitian curves, which can be defined over polylogarithmic-size alphabet. We also give a family of foldable AG codes on this tower whose corresponding AG-IOPP achieves quasilinear prover time and polylogarithmic verification.