Propriétés de dilatation des multiplicateurs de Schur et des multiplicateurs de Fourier

Dilation properties of Schur and Fourier multipliers

• Auteur / Autrice : Charles Duquet
• Direction : Christian Le Merdy
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 10/07/2023
• Etablissement(s) : Bourgogne Franche-Comté
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Carnot-Pasteur
• Partenaire(s) de recherche : Etablissement de prépartion : Université de Franche-Comté
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques de Besançon / LMB
• Jury : Président / Présidente : Uwe Franz
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Christoph Kriegler
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Magdalena Musat, Éric Ricard

Mots clés

Mots clés contrôlés

Multiplicateurs (analyse mathématique)

Espaces Lp

Mots clés libres

Dilatations

Multiplicateurs de Schur

Multiplicateurs de Fourier

Espaces Lp non-Commutatifs

Dilations

Schur multipliers

Fourier multipliers

Non commutative Lp-Spaces

Résumé

Soit N une algèbre de Von Neumann équipée d'une trace normale semi-finie fidèle (n.s.f) et soit Tcolon N o N une contraction, on dit que T est absolument dilatable s'il existe une autre algèbre de Von Neumann équipée d'une trace n.s.f, un *-homomorphisme W^*-continu préservant la trace et unitaire Jcolon N o N'et un *-automorphisme préservant la trace Ucolon N' o N' tel que pour tout kin N, T^k=mathbb{E} U^k J où Ecolon N' o N est l'espérance conditionnelle associée à J. Soit (Sigma,mu) un espace mesuré sigma-fini, nous prouvons que tout multiplicateur de Schur unitaire, positif, auto-adjoint et borné sur B(L^2(Sigma)) est absolument dilatable. De même, nous obtenons que tout multiplicateur de Fourier sur VN(G), unitaire, complètement positif, auto-adjoint est aussi absolument dilatable, où G est un groupe localement compact. De plus, nous établissons une version multi-variable de ces résultats. Ensuite, nous caractérisons les fonctions varphiinL^infty(Sigma^2) induisant un multiplicateur de Schur borné M_varphicolon B(L^2(Sigma)) o B(L^2(Sigma)) qui est absolument dilatable. Nous montrons aussi une nouvelle caractérisation pour les multiplicateurs de Schur S^p_n o S^p_n positifs et unitaires qui admettent une dilatation en une isométrie complète inversible sur un espace L^p non-commutatif avec 1<peq 2<+infty. Ensuite, nous traitons le cas de la dimension infinie.

Let N be a Von Neumann algebra equipped with a normal semi-finite faithful trace (nsf trace in short) and let Tcolon N o N be a contraction. We say that T is absolutely dilatable if there exist another von Neumann algebra N' equipped with a nsf trace, a w^*-continuous trace preserving unital *-homomorphim Jcolon N o N' and a trace preserving *-automomorphim Ucolon N' o N' such that T^k=E U^k J for all integer kgeq 0, where Ecolon N' o N is the conditional expectation associated with J. Given a sigma-finite measure space (Sigma,mu), we prove that any self-adjoint, unital, positive measurable bounded Schur multiplier on B(L^2(Sigma)) is absolutely dilatable. We obtain a similar result for self-adjoint, unital, completely positive Fourier multiplier on VN(G), when G is a locally compact group. Furthermore, we establish multi-variable versions of these results. In addition we characterize bounded Schur multipliers Marphiin L^infty(Sigma^2) such that the Schur multiplication operator M_varphicolon B(L^2(Sigma)) o B(L^2(Sigma)) is absolutely dilatable. Moreover we prove new characterizations of unital positive Schur multipliers S^p_n o S^p_n which can be dilated into an invertible complete isometry acting on a non-commutative L^p-space where 1<pot=2<infty and S^p_n be the Schatten von Neumann class over n imes n matrices. Then we investigate the infinite dimensional case.