Commande basée évènement pour quelques équations aux dérivées partielles

Event-based control for some PDEs

• Auteur / Autrice : Mahuklo Koudohode
• Direction : Sophie Tarbouriech, Lucie Coline Baudouin
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Automatique
• Date : Soutenance le 26/10/2023
• Etablissement(s) : Toulouse 3
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Systèmes (Toulouse ; 1999-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire d'Analyse et d'Architecture des Systèmes (Toulouse ; 1968-....)
• Jury : Président / Présidente : Antoine Girard
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Sophie Tarbouriech, Lucie Coline Baudouin, Julie Valein, Romain Postoyan, Frédéric Gouaisbaut, Jean-Michel Coron
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Julie Valein, Romain Postoyan

Mots clés

Mots clés contrôlés

Données -- Transmission

Liapounov, Fonctions de

Équations aux dérivées partielles

Mots clés libres

Equations aux dérivées partielles

Commande événementielle

Théorie de Lyapunov

Stabilisation

Observabilité

Méthode de Backstepping

Partial differential equations

Event-based control

Lyapunov theory

Stabilization

Observability

Backstepping method

Résumé

Au cours des dernières décennies, les stratégies de commande événementielle ont attiré une attention considérable en raison de leur application à divers domaines tels que les systèmes de contrôle en réseau, les processus industriels, la robotique, les systèmes biologiques, la transmission de données et le traitement du signal, etc. En commande événementielle, le contrôle n'est mis à jour que si nécessaire, ce qui favorise une amélioration des performances du système, une utilisation optimisée des ressources et une économie d'énergie. Tous ces aspects sont cruciaux pour minimiser les ressources de communication et de calcul. Cela a conduit à une riche littérature sur la commande événementielle, en particulier pour des systèmes modélisés par des équations différentielles ordinaires. Dans cette thèse, notre objectif est de contribuer à la commande basée-événement d'équations aux dérivées partielles (EDP), qui modélisent élégamment de nombreuses dynamiques physiques, biologiques ou sociales et pour lesquelles il existe peu de modèles de lois d'échantillonage. À ce titre, nous nous concentrerons sur la construction de commande événementielle pour trois EDPs spécifiques : les équations des ondes, de Schrödinger et de réaction-diffusion. Tout d'abord, nous montrons comment maintenir la stabilité exponentielle de l'équation des ondes soumise à un terme source d'amortissement distribué et variable dans le temps lorsqu'il est soumis à une loi d'échantillonage, induisant un amortissement constant sur chaque intervalle d'échantillonnage. Après avoir vérifié l'existence et la régularité suffisante des solutions du système en boucle fermée où la loi d'échantillonage impose les mises à jour, nous établissons une condition suffisante basée sur des inégalités matricielles pour assurer la stabilité exponentielle globale de l'état. La preuve s'appuie sur une fonctionnelle de Lyapunov adéquate. Un autre point important est la démonstration de l'absence du phenomène Zeno, correspondant à l'accumulation d'instants de mises à jour de la loi de commande. Ces résultats s'étendent également à une équation des ondes excitée. Ensuite, nous proposons une loi d'échantillonage statique (dépendant de l'état) pour l'équation de Schr"odinger linéaire soumise à un terme source d'amortissement localisé. Nous prouvons qu'avec cette loi le phénomène Zeno ne se produit pas et que la stabilité exponentielle globale est conservée grâce à des estimations d'énergie qui utilisent une inégalité d'observabilité bien connue. De plus, nous utilisons une approche similaire pour proposer une loi d'échantillonage dynamique afin d'enrichir la loi d'échantillonage statique. Enfin, nous considérons une équation de réaction-diffusion en 1-D avec un retard en entrée et soumise à une loi d'échantillonage. Nous traitons le retard comme une équation de transport, transformant le problème en un système de contrôle en cascade EDP-EDP puis nous effectuons une émulation sur le contrôle Backstepping. Nous démontrons qu'entre deux instants d'échantillonage, il existe un temps minimum d'inter-exécution qui garantit le caractère bien-posé et la stabilité exponentielle du système en boucle fermée. Notre analyse de stabilité s'appuie sur la propriété de stabilité ISS pour les EDP et utilise des arguments de petit gain.

Over the past few decades, event-triggered control strategies have garnered significant attention due to their potential to deal with diverse domains such as networked control systems, industrial processes, robotics, biological systems, data transmission, and signal processing etc. In event-based control paradigm, the control is not executed unless it is required, leading to improved system performance, optimized resource utilization, and energy conservation. All of these aspects are crucial when minimizing communication and computation resources. This has led to a substantial body of literature on event-based control in particular for systems described by ordinary differential equations. In this thesis, our objective is to contribute to the event-based control for the field of partial differential equations (PDEs), that elegantly model many physical, biological or social dynamics and for which there exist few designs of event-based control strategies. As such, we will focus on event-based control for three specific PDEs: wave equation, Schrödinger equation, and reaction-diffusion equations. First, we prove how to maintain the exponential stability of the wave equation under a distributed and time varying damping source term when it is subjected to an event-triggering mechanism, inducing a constant damping on each sampling interval. After checking existence and sufficient regularity of the solutions of the closed loop system where the event-triggering law imposes the updates, we establish a sufficient matrix inequality type condition for ensuring the global exponential stability of the state. The proof relies on an adequate Lyapunov functional, and besides, an important point is to prove the absence of Zeno behavior by preventing accumulation points in the sequence of updates. These results extend to an excited wave equation as well. Secondly, we introduce the design of a state-dependent (static) event-triggering mechanism for the linear Schr"odinger equation and consider both localized and constant damping source terms. We prove the avoidance of Zeno behavior and the global exponential stability is established through energy estimates that leverage some well-known observability inequality. Furthermore, we use a similar approach to provide a dynamic event-triggering law in order to enrich the static one. Finally, we propose an event-triggered boundary control strategy for stabilizing a 1-D reaction-diffusion equation with input delay. We treat the delay as a transport equation, transforming the problem into a cascade of PDE-PDE controlled systems and then we perform emulation on the Backstepping control. We demonstrate that under the proposed event-triggered boundary control, there exists a minimum dwell-time between two triggering times that guarantees the well-posedness and exponential stability of the closed-loop system. Our stability analysis relies o