Analyse et développement de schémas volumes finis asymptotiquement préservants dans la limite bas-Mach pour les équations d'Euler et de Navier-Stokes

Analysis and development of finite volume schemes asymptotically preserving in the low Mach number limit for the Euler and Navier-Stokes equations

• Auteur / Autrice : Paola Allegrini
• Direction : Marie-Hélène Vignal
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et Applications
• Date : Soutenance le 20/09/2023
• Etablissement(s) : Toulouse 3
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, informatique et télécommunications (Toulouse)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Toulouse (2007-....)
• Jury : Président / Présidente : Raphaël Loubère
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Marie-Hélène Vignal, Christophe Chalons, Angelo Iollo, Vincent Perrier
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Christophe Chalons, Angelo Iollo

Mots clés

Mots clés contrôlés

Mach, Nombre de

Navier-Stokes, Équations de

Euler, Équations d'

Mots clés libres

Schémas IMEX

Schémas volumes finis

Schémas asymptotiquement préservants

Analyse numérique

Équations d'Euler

Équations de Navier-Stokes

IMEX schemes

Finite volume schemes

Asymptotic preserving schemes

Numerical analysis

Euler equations

Navier-Stokes equations

Résumé

Dans cette thèse, nous développons et étudions des schémas asymptotiquement préservants (AP) pour les équations d'Euler complet et de Navier-Stokes dans le régime des faibles nombres de Mach. Pour les écoulements subsoniques, les ondes acoustiques sont très rapides par rapport à la vitesse du fluide. D'un point de vue numérique, lorsque le nombre de Mach tend vers zéro, les schémas classiques explicites présentent deux inconvénients majeurs : ils ne sont pas consistants à la limite et imposent une contrainte très restrictive sur le pas de temps pour garantir la stabilité du schéma, car ils doivent suivre les ondes acoustiques rapides. Nous proposons un nouveau schéma linéaire asymptotiquement préservant, avec une condition de type C.F.L. indépendante du nombre de Mach, et asymptotiquement consistent, c'est-à-dire qu'il donne une discrétisation du modèle limite lorsque le nombre de Mach est suffisamment petit. De plus, pour les équations de Navier-Stokes, nous choisissons une discrétisation implicite des termes de diffusion, ce qui nous permet d'utiliser de plus grands pas de temps dans les régimes fortement visqueux aussi. Ce type de schéma a été largement étudié dans la littérature, en particulier pour le cas isentropique, mais aussi pour le système d'Euler complet ou de Navier-Stokes avec différentes méthodes. Dans ce travail, nous développons et analysons d'abord un schéma AP d'ordre 1 basé sur une discrétisation IMEX (Implicite-Explicite) en temps et Volumes Finis colocalisés en l'espace. Une extension d'ordre 2 est également proposée avec l'utilisation d'une procédure MOOD pour détecter et réduire les oscillations apparaissant classiquement avec les schémas d'ordre élevé. Enfin, nous présentons des simulations numériques en une et deux dimensions.

In this thesis, we develop and study asymptotic preserving (AP) schemes for the compressible Euler and Navier-Stokes equations in the low Mach number regime. For subsonic flows, the acoustic waves are very fast compared to the velocity of the fluid. From a numerical point of view, when the Mach number tends to zero, classical explicit schemes present two major drawbacks: they loose consistency in the limit and impose a very restrictive constraint on the time step to guaranty the stability of the scheme since they have to follow the fast acoustic waves. We propose a new linear asymptotic preserving scheme, with a C.F.L. condition independent of the Mach number, and asymptotically consistent, that is it degenerates into a consistent discretization of the limit model when the Mach number is sufficiently small. Moreover, for the Navier-Stokes equations we choose an implicit discretization of the diffusion terms such that we can use larger time steps in strongly viscous regimes as well. This type of schemes has been widely studied in the literature, in particular for the isentropic case but also for the full Euler or Navier-Stokes system with various methods. In this work, first we develop and analyse an AP scheme based on an IMEX (Implicit-Explicit) discretization in time and cell-centered Finite Volumes in space. A low oscillating second order extension is also proposed with the use of a MOOD procedure to detect and reduce the oscillation classically appearing for high-order schemes. Finally, we present numerical simulations in one and two dimensions.