Sur l'étude dynamique des tranches paraboliques de l'espace des polynômes cubiques et leurs enrichissements

About the dynamic study of parabolic slices of the space of cubic polynomials and their enrichments

• Auteur / Autrice : Dimitri Le Meur
• Direction : Arnaud Chéritat, Pascale Roesch
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et Applications
• Date : Soutenance le 13/07/2023
• Etablissement(s) : Toulouse 3
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, informatique et télécommunications (Toulouse)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Toulouse (2007-....)
• Jury : Président / Présidente : Jasmin Raissy
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Anna Miriam Benini
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Marco Abate, Christian Henriksen

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations différentielles paraboliques

Fonctions holomorphes

Polynômes

Mots clés libres

Systèmes dynamiques holomorphes

Enrichissement parabolique

Portrait d'orbites

Polynômes cubiques

Application de cornes

Holomorphic dynamics

Parabolic enrichment

Orbit portraits

Cubic polynomials

Horn maps

Résumé

Douady, Lavaurs, A. Epstein, Shishikura, Lanford III, Yampolsky et d'autres ont mis à jour une classe de fonctions qui est invariante par renormalisation parabolique. Cette classe est caractérisée par des propriétés de revêtement, contient les polynômes de degré deux, et a permis notamment de faire des progrès dans l'étude de leur dynamique. A ce jour l'extension de ces résultats à tous les polynômes de degré 3 n'a pas été réalisée de façon satisfaisante, mais des pistes existent pour développer une telle théorie. Dans cette thèse, nous commençons l'étude d'une telle piste. Nous proposons d'étendre la définition de cette classe de fonctions pour inclure les polynômes de degré 3. Cette extension se scinde naturellement, en degré 3, en trois types de classes. La tranche Per_1(rho) est par définition l'ensemble des polynômes de degré 3 qui fixent un point z_0 avec multiplicateur rho, polynômes pris à conjugaison près par une application affine où z_0 est fixé. Il se trouve que cette tranche est naturellement paramétrée par un nombre complexe a. En partie 2, nous étudions les rayons externes qui peuvent aboutir au point fixe parabolique. Les candidats à être invariant par renormalisation parabolique étant définis par des propriétés de revêtement, nous étudions en quatrième partie les relations entre une notion d'équivalence de revêtement des applications de cornes de certains points paraboliques et une notion de conjugaison associée à ces points paraboliques.

Douady, Lavaurs, A. Epstein, Shishikura, Lanford III, Yampolsky and others have discovered a class of functions which is invariant by parabolic renormalisation. This class is caracterized by covering properties, contains the polynomials of degree 2 and enabled among other things to progress in the study of their dynamics. To date, the extension of these results for all polynomials of degree 3 has not been achieved, nevertheless there exist some elements to developp such a theory. In this thesis, we start the study of these elements. We propose to extend the definition of this class of functions to include the polynomials of degree 3. This extension separates naturally, in degree 3, in 3 types of classes. The slice Per_1(rho) is by definition the set of polynomials of degree 3 which fixes a point z_0 with multiplier rho ; the polynomials are here taken up to a conjugacy by an affine map where z_0 is fixed. This slice is naturally parametrized by a complex number a. In part 2, we study the external rays which can land at the fixed parabolic point. Since the candidates to be invariant by parabolic renormalisation are defined by covering properties, we study in the fourth part the relations between a notion of covering equivalence of horn maps of certain parabolic points and a notion of conjugacy associated to these parabolic points.