Etude des ondes périodiques et stationnaires pour l'équation de Schrödinger non linéaire

Study of periodic and standing waves for the nonlinear Schrödinger equation

• Auteur / Autrice : Perla Kfoury
• Direction : Stefan Le Coz, Tai-Peng Tsai
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et Applications
• Date : Soutenance le 02/06/2023
• Etablissement(s) : Toulouse 3
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, informatique et télécommunications (Toulouse)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Toulouse (2007-....)
• Jury : Président / Présidente : Mihai Maris
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Stefan Le Coz, Tai-Peng Tsai, Mathieu Colin, Hajer Bahouri, Nabile Boussaid
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Mathieu Colin

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations d'onde

Schrödinger, Équation de

Mots clés libres

Ondes périodiques

Ondes stationnaires

Équation de Schrödinger non linéaire

Stabilité

Periodic waves

Standing waves

Nonlinear Schrödinger equation

Orbital stability

Résumé

La thèse s'intéresse à l'étude des ondes périodiques et stationnaires pour l'équation de Schrödinger non linéaire unidimensionnelle. La première partie de la thèse se concentre sur la stabilité orbitale des ondes stationnaires pour l'équation de Schrödinger non linéaire à double puissance. Dans cette thèse, nous fournissons une image de stabilité complète pour le problème en utilisant le critère de pente de Grillakis, Shatah et Strauss. Les principaux nouveaux ingrédients de notre approche sont une reformulation de la pente et le calcul explicite de la valeur de la pente dans le cas de la fréquence zéro. Nous avons fourni des expériences numériques pour compléter nos résultats théoriques. Dans la deuxième partie de la thèse, nous étudions les solutions quasi-périodiques pour l'équation de Schrödinger cubique non-linéaire. Nous utilisons une approche variationnelle pour étudier les solutions quasi-périodiques, en minimisant l'énergie à masse et moment fixes en utilisant la méthode du flux de gradient avec normalisation discrète : à chaque pas de temps, nous évoluons dans la direction du gradient de l'énergie et renormalisons la masse et le moment du résultat. Nous établissons un lien entre les minimiseurs de l'énergie et les solutions de l'équation différentielle ordinaire. La dernière partie étend le travail sur le cas cubique à une non-linéarité plus générale et fournit des caractérisations variationnelles pour ce cas. La thèse dans son ensemble, contribue à la compréhension de la dynamique des équations de Schrödinger non linéaires, en mettant l'accent sur l'étude des ondes périodiques et stationnaires. Nous utilisons une combinaison de méthodes analytiques, numériques et variationnelles pour fournir une compréhension plus profonde du comportement des équations et de leurs solutions.

The thesis focuses on the study of periodic and standing waves for the one dimensional nonlinear Schrödinger equation. The first part of the thesis focuses on the orbital stability of standing waves for the double power nonlinear Schrödinger equation. In this thesis we provide a complete stability picture for the problem using the slope criterion of Grillakis, Shatah and Strauss. The main new ingredients in our approach are a reformulation of the slope and the explicit calculation of the slope value in the zero-frequency case. We provided numerical experiments to complement our theoretical results. In the second part of the thesis, we study the quasi-periodic solutions for the cubic nonlinear Schrödinger equation. We use a variational approach to study the quasi-periodic solutions by minimizing the energy at fixed mass and momentum, using the method of the gradient flow with discrete normalization:at each step of time, we evolve in the direction of the gradient of the energy and renormalize the mass and the momentum of the outcome. We establish a connection between the minimizers of the energy and the solutions of the ordinary differential equation. The final part extends the work on the cubic case to a more general nonlinearity and provides variational characterizations for this case. Overall, the thesis contributes to the understanding of the dynamics of nonlinear Schrödinger equations, with a focus on the study of periodic and standing waves. We use a combination of analytical, numerical, and variational methods to provide a deeper understanding of the behavior of the equations and their solutions.