Étude énumérative des intervalles dans les treillis de type Tamari

Enumerative study of intervals in lattices of Tamari type

• Auteur / Autrice : Clément Chenevière
• Direction : Frédéric Chapoton, Christian Stump
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 22/11/2023
• Etablissement(s) : Strasbourg en cotutelle avec Ruhr-Universität
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, sciences de l'information et de l'ingénieur (Strasbourg ; 1997-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de recherche mathématique avancée (Strasbourg)
• Jury : Président / Présidente : Benjamin Enriquez
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Deniz Kuş
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Mireille Bousquet-Mélou, Christian Krattenthaler

Mots clés

Mots clés contrôlés

Treillis, Théorie des

Mots clés libres

Treillis de Tamari

Ordre partiel

Intervalles dans un poset

Combinatoire énumérative

Chemin de Dyck

Arbre binaire

Intervalles linéaires

Treillis alt-Tamari

Treillis alt ν-Tamari

Groupe de Coxeter

Groupe symétrique

Treillis cambrien

Treillis m-cambrien

Permutarbre

Nombres de Catalan

Ordre faible

Treillis m-Tamari

Intervalle-poset

Treillis ν-Tamari

Tamari lattice

Poset

Intervals in a poset

Enumerative combinatorics

Dyck paths

Binary tree

Linear intervals

Alt-Tamari lattice

Alt ν-Tamari lattice

Coxeter group

Symmetric group

Cambrian lattice

M-Cambrian lattice

Permutree

Catalan numbers

Weak order

M-Tamari lattice

Interval-poset

Ν-Tamari lattice

Résumé

Le treillis de Tamari est un ordre partiel sur les objets comptés par les nombres de Catalan. Plusieurs descriptions de ce treillis existent et donnent lieu à différentes familles de généralisations. Dans cette thèse, on étudie ces différents ordres partiels et notamment leurs intervalles, en particulier d'un point de vue énumératif.Après une première partie préliminaire, une seconde partie concerne concerne l'étude de la sous-famille des intervalles linéaires dans le treillis de Tamari et ses différentes généralisations. On définit en particulier les familles des ordres alt-Tamari et alt ν-Tamari. On prouve bijectivement des résultats d'équidistribution de ces intervalles linéaires, que l'on énumère dans le cas des treillis alt-Tamari.Une troisième partie se penche sur une conjecture de Stump, Thomas et Williams selon laquelle les treillis m Cambriens en type A linéaire et m-Tamari auraient le même nombre d'intervalles. On présente et généralise l'étude dans le cas m-Tamari, puis on étudie les treillis m-Cambriens, dont on propose une nouvelle description conjecturale.

The Tamari lattice is a partial order on objects counted by the Catalan numbers. There are several descriptions of this lattice, which lead to different families of generalizations. In this manuscript, we study these different partial orders and their intervals, especially from an enumerative perspective.After a first preliminary part, a second part focuses on the study of the subfamily of linear intervals in the Tamari lattice and its generalizations. We define in particular the new families of alt-Tamari and alt ν-Tamari orders. We prove bijectively some equidistributivity results of these linear intervals, that we enumerate in the case of the alt-Tamari lattices. A third part is motivated by a conjecture of Stump, Thomas and Williams, according to which the m Cambrian lattices in linear type A and the m-Tamari lattices would have the same number of intervals. We present and generalize the study in the m-Tamari case, then we study the m-Cambrian lattices, for which we propose a new conjectural description.