Fluctuations fortement non uniformes au sein du Groupe de Renormalisation Fonctionnelle

Strongly nonuniform fluctuations within the Functional Renormalization Group

Neuniformne fluktuacije u opisu Funkcionalnom Renormalizacijskom Grupom

• Auteur / Autrice : Lucija Nora Farkaš
• Direction : Gilles Tarjus, Ivan Balog
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Physique
• Date : Soutenance le 13/12/2023
• Etablissement(s) : Sorbonne université en cotutelle avec Sveučilište u Zagrebu (Hrvatska)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Physique en Île-de-France (Paris ; 2014-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de physique théorique de la matière condensée (Paris ; 1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Dominique Mouhanna
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Denis Karl Sunko, Danko Radić
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Pawel Marek Jakubczyk, Bertrand Berche

Mots clés

Mots clés contrôlés

Instantons

Transitions de phases

Fluctuations (physique)

Renormalisation (physique)

Groupe de renormalisation

Mots clés libres

Groupe de renormalisation fonctionnelle

Groupe de renormalisation

Groupe de renormalisation non perturbative

Fluctuations non uniformes

Transitions de phase

Functional Renormalization Group

Renormalization Group

Nonperturbative Renormalization Group

Nonuniform fluctuations

Phase transitions

Résumé

Depuis son introduction, le Groupe de Renormalisation est devenu l'outil théorique de prédilection pour comprendre et décrire le comportement collectif caractérisé par une invariance d'échelle émergente à proximité d'une transition de phase continue. Il offre un cadre conceptuel puissant, mais les résultats exacts étant rares, la recherche de schémas d'approximation génériques et efficaces a été très active dès le départ. Une ligne de recherche récente part d'une formulation exacte du Groupe de Renormalisation, sous la forme d'un Groupe de Renormalisation Fonctionnelle (GRF) pour les fonctionnelles génératrices dépendantes d'échelle, et introduit des approximations potentiellement non perturbatives via des ansatzes pour la fonctionnelle génératrice dépendante d'échelle étudiée. La question que nous abordons est de savoir dans quelle mesure de tels schémas d'approximation génériques sont capables de décrire des problèmes spécifiques où le comportement à longue distance implique des configurations fortement non uniformes avec, par exemple, des excitations localisées. Un exemple d'un tel schéma d'approximation au sein du GRF est l'expansion dérivée de l'action moyenne effective (énergie libre de Gibbs moyenne à gros grain ("coarse-grained") dans le langage des systèmes magnétiques) qui consiste à tronquer la forme fonctionnelle de cette dernière en puissances des moments extérieurs ou, de manière équivalente, en gradients des champs. L'approximation par expansion dérivée se concentre sur les propriétés à grande longueur d'onde et, en termes de configurations "coarse-grained" du système, fonctionne comme une expansion autour de configurations uniformes. On peut donc se demander si un tel schéma est capable de saisir la physique associée à des configurations non uniformes contenant, par exemple, des parois de domaine, des ondes de spin ou des défauts localisés comme les créneaux et les anti-créneaux trouvés dans l'analyse des instantons du modèle d'Ising en 1 dimension. Dans ce travail, nous évaluons la capacité de l'expansion dérivée du GRF à décrire quantitativement la physique à longue distance d'un modèle sur toute la gamme des dimensions spatiales sans connaissance a priori des configurations "coarse-grained" pertinentes dans l'espace réel. Pour ce faire, nous examinons d'abord comment les ordres inférieurs de l'expansion dérivée décrivent l'approche de la dimension critique inférieure dlcdlc​ de la théorie scalaire de type Ising φ4 qui est censée être contrôlée par la prolifération d'excitations localisées (instantons). Nous montrons que la convergence du potentiel effectif du point fixe décrivant le point critique du modèle est non uniforme dans le champ lorsque la dimension dd s'approche de dlcdlc​, avec l'émergence d'une couche limite autour du minimum du potentiel. Au niveau d'approximation non trivial le plus bas (connu sous le nom de LPA’), cela nous permet de faire des prédictions analytiques pour la valeur de la dimension critique inférieure dlcdlc​ et pour le comportement de la température critique à mesure que d→dlc, qui sont tous deux en assez bon accord avec les résultats exacts connus. Nous considérons également pour le même modèle scalaire de type Ising φ4 la phase ordonnée dans la limite où d→dlc. Nous nous concentrons sur la manière dont le potentiel effectif dans le GRF devient convexe à mesure que les fluctuations spatiales appropriées, qui impliquent maintenant des configurations non uniformes avec une paroi de domaine séparant deux phases, sont incluses dans le calcul.

Since its introduction, the Renormalization Group has been the theoretical tool of choice for understanding and describing collective behavior characterized by an emergent scale invariance as in the vicinity of a continuous phase transition. It provides a powerful conceptual framework but, exact results being scarce, the search for generic and efficient approximation schemes has been very active from the very beginning. One recent line of research starts from an exact formulation of the Renormalization Group, in the form of a functional Renormalization Group (FRG) for scale-dependent generating functionals of correlation functions, and introduces potentially {it nonperturbative} approximations through ansatzes for the scale-dependent generating functional under study. The question that we address is to what extent such generic approximation schemes are able to describe specific problems in which the long-distance behavior involves strongly nonuniform configurations with, {it e.g.}, localized excitations.An example of such an approximation scheme within the FRG is the so-called derivative expansion of the effective average action (coarse-grained Gibbs free energy in the language of magnetic systems) which amounts to truncating the functional form of the latter in powers of the external momenta or equivalently in gradients of the fields. The derivative-expansion approximation focuses on the long wavelength properties and, in terms of coarse-grained configurations of the system, works as an expansion about uniform configurations. One may therefore wonder if such a scheme is able to capture the physics associated with nonuniform configurations containing, {it e.g.}, domain walls, spin waves, or localized defects such as the kinks and anti-kinks found in the instanton analysis of the 1-dimensional Ising model.In this work we assess the ability of the derivative expansion of the FRG to quantitatively describe the long-distance physics of a model across the whole range of space dimensions {it without a priori knowledge} of the relevant real-space coarse-grained configurations. To do so we first investigate how low orders of the derivative expansion describe the approach to the lower critical dimension d→dlc of the Ising-like scalar φ4 theory which is expected to be controlled by the proliferation of localized excitations (instantons). We show that the convergence of the fixed-point effective potential describing the critical point of the model is nonuniform in the field when the dimension d approaches dlcdlc, with the emergence of a boundary layer around the minimum of the potential. At the lowest nontrivial approximation level (known as LPA’) this allows us to make analytical predictions for the value of the lower critical dimension dlcdlc and for the behavior of the critical temperature as d→dlc, which are both found in fair agreement with the known exact results. We also consider for the same Ising-like scalar φ4 model the ordered phase in the limit where d→dlc. We focus on the way the effective potential in the FRG becomes convex as the proper spatial fluctuations, which now involve nonuniform configurations with a domain wall separating two phases, are included in the calculation.