Caractère bien posé et comportement en temps long de l’équation de Stokes-transport

Well-posedness and long-time behaviour of the Stokes-transport equation

• Auteur / Autrice : Antoine Leblond
• Direction : Anne-Laure Dalibard Roux, Julien Guillod
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 10/11/2023
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Jacques-Louis Lions (Paris ; 1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Franck Sueur
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Ayman Moussa, Vincent Duchêne, Amina Mecherbet
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Franck Sueur, Francisco Gancedo

Mots clés

Mots clés contrôlés

Sobolev, Espaces de

Navier-Stokes, Équations de

Caractère bien-posé

Mécanique des fluides

Équations aux dérivées partielles non linéaires

Mots clés libres

EDP

Mécanique des fluides

Caractère bien posé

Comportement en temps long

Equation de transport

Stokes stationnaire

PDE

Fluids mechanics

Well-Posedness

Long-Time behaviour

Transport equation

Steady Stokes equation

Résumé

L'équation de Stokes-transport modélise un fluide incompressible, visqueux et inhomogène, soumis à la gravité. Il s'agit d'un modèle réduit d'océanographie et de sédimentation. La densité est transportée par le champ de vitesse du fluide, satisfaisant à tout instant l'équilibre entre les effets de viscosité, de pression et de gravité, d'après l'équation de Stokes. Dans la première partie, nous établissons le caractère bien posé de ce système dans les domaines bornés et dans un canal infini, au sens faible et pour des données intégrables. La cas du canal inclut des solutions d'énergie infinie, impliquant des espaces de fonctions uniformément localement Sobolev. Ces résultats sont comparés à des travaux antérieurs, dans l'espace et le plan. Dans la deuxième partie, nous nous concentrons sur le comportement en temps long des solutions de l'équation de Stokes-transport dans un canal périodique. Nous montrons qu'une classe de profils stratifiés est stable pour des perturbations assez petites et régulières. Nous supposons le fluide non-glissant aux bords, ce qui pose des problèmes particuliers dus aux effets de bords induits. Nous obtenons des taux de convergence algébriques et montrons que la densité se réarrange verticalement et de façon monotone. Nous donnons également un développement de type couche limite du profil de densité à proximité des bords. En outre, nous prouvons, en adaptant un résultat antérieur, que tout profil stationnaire est instable pour des perturbations peu régulières. Nous mettons enfin en évidence des propriétés du système, compatibles avec la conjecture selon laquelle la densité tend toujours à se réordonner. Dans la dernière partie, nous menons une analyse numérique de l'évolution d'interfaces de densité de type graphe, gouvernée par l'équation de Stokes-transport. Plusieurs comportements sont observés, de la convergence vers l'équilibre plat à la rupture de graphe. Nous comparons nos observations à des résultats théoriques existants.

The Stokes-transport equation models an incompressible, viscous and inhomogeneous fluid, subject to gravity. It is a reduced model for oceanography and sedimentation. The density is transported by the velocity field, satisfying at any time the momentum balance between viscosity, pressure and gravity effects, namely the Stokes equation. In the first part, we establish the global well-posedness of this system in bounded domains and in the infinite channel, in the weak sense and for Lebesgue initial data. The unbounded channel case is solved in uniformly local Sobolev spaces, with solutions having infinite energy. These results are compared with previous works in the whole space and in the plane. In the second part, we focus on the long-time evolution of the solutions of the Stokes-transport equation in a periodic channel. We show that a class of monotonous stratified density profiles is stable for small and regular enough perturbations. We consider no-slip boundary conditions on the velocity field, which raises mathematical difficulties due to the presence of boundary effects. We obtain explicit algebraic convergence rates and show that the density rearranges vertically and monotonously, in line with the common intuition of sedimentation. We also give a refined description of the density profile, involving a boundary layer expansion in the vicinity of the boundaries. Besides, we extend a previous result obtained for a related problem, proving that any stationary profile is unstable in low regularity topologies. We also highlight properties compatible with the conjecture that the density always stratifies. In the last part, we undertake a numerical study of the evolution of graph density interfaces governed by the Stokes-transport equation. Several behaviours are observed, from the convergence toward the flat rest interface to the graph break. We compare our observations with existing theoretical results.