Faisceaux monodromiques, théorie de Deligne-Lusztig, et cohomologie des champs de chtoucas en profondeur 0

Monodromiques sheaves, Deligne-Lusztig theory and depth 0 cohomology of stacks of chtoucas

• Auteur / Autrice : Arnaud Eteve
• Direction : Jean-François Dat
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 27/09/2023
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Alain Genestier
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Vincent Lafforgue, Sophie Morel, Anne-Marie Aubert
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Dennis Gaitsgory, Olivier Dudas

Mots clés

Mots clés contrôlés

Groupes de monodromie

Chtoucas de Drinfeld

Faisceaux, Théorie des

Cohomologie

Représentations de groupes

Programme de Langlands

Mots clés libres

Représentations

Programme de Langlands

Chtoucas

Representation

Langlands program

Chtoucas

Résumé

Soit G un groupe réductif sur un corps fini Fq de caractéristique p > 0. Dans cette thèse, nous discutons tout d'abord des liens entre les catégories de Hecke monodromiques libres et la théorie de Deligne-Lusztig. Nous commençons par donner une nouvelle construction des catégories de faisceaux monodromiques libres de Z. Yun [BY13] en utilisant des faisceaux équivariants tordus. Nous utilisons ensuite cela pour construire un relèvement Zl-linéaire des catégories de Hecke monodromiques libres étudiées par Bezrukavnikov, Riche, Yun et Gouttard. Dans une deuxième direction, nous discutons de l'interaction du formalisme monodromique avec la correspondance horocyclique (tordue) introduite par Lusztig dont nous nous servons pour donner de nouvelles preuves de certains résultats de la théorie de Deligne-Lusztig. Nous procédons ensuite au calcul de la trace de Frobenius sur la catégorie de Hecke monodromique et montrons que cette dernière est équivalente à la catégorie des représentations du groupe fini G_F . Nous appliquons ce formalisme à l'étude de l'algèbre d'endomorphismes de la représentation de Gelfand-Graev de G_F et retrouvons un résultat de Li exprimant cette algèbre en termes du tore dual. Enfin, supposons que G soit un groupe quasi-déployé non ramifié défini sur un corps local d'égale caractéristique F. Dans ce contexte, Lafforgue et Genestier ont construit une correspondance de Langlands locale semi-simple. Nous montrons deux propriétés attendues pour la partie de profondeur 0 de cette correspondance. Plus précisément, nous montrons que le paramètre de Langlands associé à une représentation de profondeur 0 de G(F) est modéré, et nous décrivons la partie semi-simple de l'image d'un générateur de la monodromie modéré.

Let G be a reductive group over a finite field Fq of characteristic p > 0. In this thesis we first discuss some links between the free monodromic Hecke categories and Deligne-Lusztig theory. We start by giving a new construction of the free monodromic categories of Z. Yun using twisted equivariant sheaves. We then use this to construct a Zl-lift of the free monodromic Hecke categories studied by Bezrukavnikov, Riche, Yun and by Gouttard. In a second direction, we discuss how the monodromic formalism interacts with the (twisted) horocycle correspondence introduced by Lusztig and how to use it to recover some key facts of the theory. We then proceed to compute the trace of Frobenius on the monodromic Hecke category and show that we recover the category of representations of the finite group G_F. We apply this formalism to study the endomorphism algebra of the Gelfand-Graev representation of G_F and recover a result of Li expressing this algebra in terms of the dual torus.Finally, assume that G is a quasi-split unramified group defined over local field of equal characteristic F. In this setting Lafforgue and Genestier have constructed a semisimple local Langlands correspondence. We show two expected properties for the depth 0 part of this correspondence. Namely, we show that the Langlands parameter associated to a depth 0 representation of G(F) is tame and we describe the semisimple part of the image of a generator of the tame monodromy.