Structures réelles des surfaces tropicales phasées

Real Structures of Phase Tropical Surfaces

• Auteur / Autrice : Antoine Toussaint
• Direction : Ilia Itenberg
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 29/09/2023
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Patrick Popescu-Pampu
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Antoine Ducros, Hannah Markwig, Kris Shaw
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Diego Matessi, Dhruv Ranganathan

Mots clés

Mots clés contrôlés

Cohomologie

Courbes planes

Surfaces algébriques

Variétés algébriques

Géométrie tropicale

Mots clés libres

Géométrie algébrique réelle

Géométrie tropicale

Patchwork combinatoire

Real Algebraic Geometry

Tropical geometry

Combinatorial Patchworking

Résumé

Le patchwork de Viro introduit à la fin des années 1970 est une des approches principales pour construire des variétés algébriques réelles avec des propriétés topologiques prescrites. La méthode de Viro est étroitement reliée à la géométrie tropicale. En particulier, le cas le plus simple de cette méthode, connu sous le nom de patchwork combinatoire primitif, est basé sur des données partiellement duales à une variété tropicale non-singulière. Pour les courbes planes, les structures réelles provenant d'un patchwork combinatoire primitif ont été décrites par B. Haas en 1997, permettant ainsi d'établir un critère combinatoire pour la maximalité (au sens de Smith-Thom) des courbes planes ainsi construites. Cette description a été réinterprétée en 2017 par B. Bertrand, E. Brugallé et A. Renaudineau ouvrant la voie à une généralisation en dimension supérieures. Nous généralisons leur approche au cas des surfaces et donnons une description d'une certaine classe de structures réelles sur une surface tropicale phasée qui forment un espace affine dont la direction est donnée en termes de la cohomologie de l'espace des ondes ("wave space") de la surface tropicale sous-jacente. Nous donnons ensuite une filtration de l'homologie de la surface tropicale phasée par le relèvement de cycles tropicaux de la surface tropicale. Enfin, nous établissons un critère combinatoire nécessaire pour la maximalité d'une surface tropicale phasée munie d'une structure réelle, ainsi qu'un critère nécessaire et suffisant pour le type I de surfaces tropicales phasées réelles.

Introduced in the late 1970's, Viro's patchworking is one of the main approaches for constructing real algebraic varieties with prescribed topological properties. Viro's method is closely related to tropical geometry. In particular, the simplest case, known as primitive combinatorial patchworking, is based on data partially dual to a non-singular tropical variety. For plane curves, the real structures arising in a primitive combinatorial patchworking were described by B. Haas in 1997, enabling a combinatorial criterion to be established for the maximality (in the Smith-Thom sense) of the plane curves under construction. This description was reinterpreted in 2017 by B. Bertrand, E. Brugallé and A. Renaudineau, paving the way for a generalization to higher dimensions. We generalize their approach to the case of surfaces and give a description of a certain class of real structures on a phase tropical surface that form an affine space whose direction is given in terms of the cohomology of the wave space of the underlying tropical surface. We then give a filtration of the homology of the phase tropical surface by lifting tropical cycles of the tropical surface. Finally, we establish a necessary combinatorial criterion for the maximality of a phase tropical surface endowed with a real structure, as well as a necessary and sufficient criterion for real phase tropical surfaces to be of type I.