Principe local-global pour les points entiers sur certaines surfaces algébriques

Local-global principle for integral points on certain algebraic surfaces

• Auteur / Autrice : Quang-Duc Dao
• Direction : Cyril Demarche
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 05/07/2023
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....)
• Jury : Président / Présidente : David Harari
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Kévin Destagnol, Antoine Ducros, Rachel Newton
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Daniel Loughran, Yonatan Harpaz

Mots clés

Mots clés contrôlés

Brauer, Groupe de

Points rationnels (géométrie)

Surfaces cubiques

Surfaces algébriques

Mots clés libres

Principe local-global

Points entiers

Surfaces algébriques

Groupe de Brauer

Obstruction de Brauer-Manin

Local-global principle

Integral points

Algebraic surfaces

Brauer group

Brauer-Manin obstruction

Résumé

Dans cette thèse, nous étudions le problème de l'existence de points entiers sur certaines surfaces algébriques définies sur des corps de nombres, en particulier le corps des nombres rationnels. Dans le premier chapitre, nous introduisons l'historique du problème et quelques progrès récents dans le sujet de notre étude, en particulier les travaux récents de Ghosh–Sarnak, Loughran–Mitankin, et Colliot-Thélène–Wei–Xu. Dans le chapitre 2, nous étudions l'obstruction de Brauer–Manin pour les surfaces cubiques de type Markoff. Nous fournissons d'abord quelques informations sur les variétés de caractères et l'origine naturelle des surfaces cubiques de type Markoff, puis nous calculons explicitement le groupe de Brauer des compactifications lisses et le groupe de Brauer algébrique des surfaces affines. Ensuite, nous utilisons le groupe de Brauer pour prouver l'échec de l'approximation forte qui peut s'expliquer par l'obstruction de Brauer–Manin dans une famille infinie de surfaces, puis donnons des estimations asymptotiques pour la fréquence des obstructions. De plus, nous appliquons la théorie de la réduction, similaire à celle des surfaces de Markoff, dans les travaux récents de Whang pour donner un contre-exemple explicite au principe de Hasse entier pour nos surfaces cubiques de type Markoff. Nous donnons aussi des résultats analogues à ceux sur les surfaces de Markoff à propos de l'obstruction de Brauer–Manin dans quelques cas particuliers de surfaces cubiques de type Markoff. Dans le chapitre 3, nous étudions l'obstruction de Brauer–Manin pour les surfaces de Wehler K3 de type Markoff et suivons la même structure que le chapitre précédent. Nous fournissons d'abord quelques informations sur les surfaces K3 de Wehler et une étude récente des surfaces K3 de type Markoff (MK3), ainsi que les trois familles explicites de surfaces MK3 qui nous intéressent. Ensuite, nous calculons explicitement le groupe de Brauer algébrique des clôtures projectives lisses, puis le groupe de Brauer algébrique des surfaces affines. Ensuite, nous utilisons le groupe de Brauer pour prouver l'échec du principe de Hasse entier qui peut être expliqué par l'obstruction de Brauer–Manin pour trois familles de surfaces MK3, puis donnons quelques estimations asymptotiques pour les échecs de Hasse. Ensuite, nous étudions quelques cas où l'obstruction de Brauer–Manin à l'existence de points entiers et de points rationnels peut disparaître, puis donnons quelques contre-exemples à l'approximation forte qui peut s'expliquer par l'obstruction de Brauer–Manin. De plus, nous donnons quelques exemples explicites qui montrent que des points rationnels existent sur des surfaces MK3 affines. Pour compléter la thèse, dans l'annexe A, nous donnons une brève introduction aux obstructions de descente associées aux torseurs d'Artin–Schreier et à leur relation avec l'obstruction de Brauer–Manin pour les points entiers sur les variétés affines sur un corps de fonctions d'une courbe algébrique sur un corps fini, comme étudiées par Harari et Voloch. Enfin, nous étudions quelques contre-exemples au principe de Hasse entier sur des coniques et des surfaces de Markoff.

In this thesis, we study the problem of the existence of integral points on certain algebraic surfaces defined over number fields, particularly the field of rational numbers. In the first chapter, we introduce the history of the problem and some recent progress in the subject of our study, especially the recent work of Ghosh–Sarnak, Loughran–Mitankin, and Colliot-Thélène–Wei–Xu. In Chapter 2, we study the Brauer–Manin obstruction for Markoff-type cubic surfaces. We first provide some background on character varieties and the natural origin of the Markoff-type cubic surfaces, then we explicitly calculate the Brauer group of the smooth compactifications and the algebraic Brauer group of the affine surfaces. Afterward, we use the Brauer group to prove the failure of strong approximation which can be explained by the Brauer–Manin obstruction in an infinite family of surfaces, and then give some counting results for the frequency of the obstructions. Furthermore, we apply the reduction theory, similar to that of Markoff surfaces, in recent work by Whang to give an explicit counterexample to the integral Hasse principle for our Markoff-type cubic surfaces. We also give some analogous results to those on Markoff surfaces about the Brauer–Manin obstruction in some special cases of Markoff-type cubic surfaces. In Chapter 3, we study the Brauer–Manin obstruction for Wehler K3 surfaces of Markoff type and follow the same structure as the previous chapter. We first provide some background on Wehler K3 surfaces and a recent study of the Markoff-type K3 (MK3) surfaces, as well as introduce the three explicit families of MK3 surfaces that interest us. Next, we explicitly calculate the algebraic Brauer group of the smooth projective closures, and then the algebraic Brauer group of the affine surfaces. Afterward, we use the Brauer group to prove the failure of the integral Hasse principle which can be explained by the Brauer–Manin obstruction for three families of MK3 surfaces, and then give some counting results for the Hasse failures. Afterward, we study some cases when the Brauer–Manin obstruction to the existence of integral points and rational points can vanish, then give some counterexamples to strong approximation which can be explained by the Brauer–Manin obstruction. Furthermore, we provide some explicit examples which show that rational points do exist on affine MK3 surfaces. To complete the thesis, in Appendix A, we give a brief introduction to the descent obstructions associated with Artin–Schreier torsors and their relation to the Brauer–Manin obstruction for integral points on affine varieties over global function fields, as studied by Harari and Voloch. Finally, we study some counterexamples to the integral Hasse principle on conics and Markoff surfaces.