Théorie de Hodge p-adique pour les variétés rigides analytiques

p-adic Hodge theory for rigid-analytic varieties

• Auteur / Autrice : Guido Bosco
• Direction : Pierre Colmez, Wiesława Nizioł
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 21/03/2023
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Sophie Morel
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Matthew Morrow, Dustin Clausen, Vincent Pilloni
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Kęstutis Česnavičius, David Hansen

Mots clés

Mots clés contrôlés

Variétés (mathématiques)

Hodge, Théorie de

Cohomologie p-adique

Mots clés libres

Théorie de Hodge p-adique

Mathématiques condensées

Courbe de Fargues–Fontaine

P-adic Hodge theory

Condensed mathematics

Fargues–Fontaine curve

Résumé

Dans cette thèse, nous proposons plusieurs contributions à l’étude des relations entre les différentes théories cohomologiques p-adiques des variétés rigides analytiques, en utilisant les mathématiques condensées récemment développée par Clausen–Scholze. Le mémoire se compose de deux chapitres distincts. Dans le premier chapitre, en utilisant la suite exacte fondamentale relative de la théorie de Hodge p-adique, nous déterminons la cohomologie géométrique pro-étale p-adique rationnelle des espaces symétriques de Drinfeld, définis sur un corps p-adique, donnant ainsi une preuve alternative d’un théorème de Colmez–Dospinescu–Nizioł. À cette fin, nous démontrons que la différence entre la cohomologie pro-étale p-adique et l-adique, pour un nombre premier l différent de p, est mesurée par la cohomologie pro-étale du faisceau des périodes de Rham positif, que nous décrivons, en termes de formes différentielles, pour toutes les variétés rigides analytiques, connexes, paracompactes, et lisses sur un corps p-adique (en traitant aussi le cas avec coefficients). Grâce aux formalismes condensé et solide de Clausen–Scholze, nous arrivons à démontrer un tel résultat également dans les cas où les groupes de cohomologie considérés sont autrement pathologiques en tant qu’espaces vectoriels topologiques. Dans le second chapitre, en généralisant les méthodes de la première partie, et en nous appuyant sur des résultats en théorie de Hodge p-adique initiés par Bhatt–Morrow–Scholze, nous démontrons, dans le cadre des mathématiques condensées, un théorème général de comparaison pour les variétés rigides analytiques p-adiques (sans hypothèses de propreté ou de lissité), décrivant la cohomologie géométrique (pro-)étale p-adique rationnelle en termes de données de Rham. Au passage, nous relions la cohomologie de Fargues–Fontaine à la cohomologie de Hyodo–Kato, donnant ainsi une preuve d’une conjecture de Le Bras. En outre, inspirés par des travaux de Colmez–Nizioł et Le Bras, nous définissons une nouvelle théorie cohomologique, appelée cohomologie syntomique de Fargues–Fontaine, que nous étudions en détail. Nous concluons en conjecturant l’existence d’une théorie cohomologique prismatique pour les variétés rigides analytiques.

In this thesis, we propose several contributions to the study of the relations between the different p-adic cohomology theories for rigid-analytic varieties, using the condensed mathematics recently developed by Clausen–Scholze. The dissertation is divided in two different chapters. In the first chapter, via the relative fundamental exact sequence of p-adic Hodge theory, we determine the geometric rational p-adic pro-étale cohomology of the Drinfeld symmetric spaces, defined over a p-adic field, thus giving an alternative proof of a theorem of Colmez–Dospinescu–Nizioł. To this end, we prove that the difference between the p-adic and l-adic pro-étale cohomology, for a prime l different from p, is measured by the pro-étale cohomology of the positive de Rham period sheaf, which we describe, in terms of differential forms, for any connected, paracompact, smooth rigid-analytic variety over a p-adic field (studying also the case with coefficients). Thanks to the condensed and solid formalisms of Clausen–Scholze, we are able to show such a result also in cases where the relevant cohomology groups are otherwise pathological as topological vector spaces. In the second chapter, generalizing the methods of the first part, and building upon results in p-adic Hodge theory pioneered by Bhatt–Morrow–Scholze, we prove, in the condensed mathematics framework, a general comparison theorem for p-adic rigid-analytic varieties (without properness or smoothness assumptions), describing the geometric rational p-adic (pro-)étale cohomology in terms of de Rham data. Along the way, we relate the Fargues–Fontaine cohomology to the Hyodo–Kato cohomology, thus proving a conjecture of Le Bras. Moreover, inspired by works of Colmez–Nizioł and Le Bras, we define a new cohomology theory, called syntomic Fargues–Fontaine cohomology, that we study in details. We conclude by conjecturing the existence of a prismatic cohomology theory for rigid-analytic varieties.