Fermions en interaction dans un milieu aléatoire : état fondamental et son entropie d'entrelacement pour un modèle simple

Interacting fermions in a random medium : ground state and its entanglement entropy for a simple model

• Auteur / Autrice : Vadim Ognov
• Direction : Frédéric Klopp
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 26/05/2023
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Mathieu Lewin
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : François Huveneers, Dario Cordero-Erausquin
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Robert Seiringer, Jean-Marie Barbaroux

Mots clés

Mots clés contrôlés

Problème à N corps

Fermions

Niveau de Fermi

Optimisation mathématique

Intrication quantique

Théorie spectrale (mathématiques)

Mots clés libres

Théorie spectrale

Système quantique

Optimisation sur nombres entiers

Localisation n-Corps

Intrication quantique

Énergie de Fermi

Spectral theory

Quantum system

Optimization on integers

Many-Body localization

Entanglement entropy

Fermi energy

Résumé

Ce travail a pour but de décrire les états fondamentaux de l'opérateur de Schrödinger aléatoire associé au modèle des pièces, dans la limite thermodynamique et dans la statistique de Fermi-Dirac. Ainsi, nous considérons les répartitions minimales, en terme d'énergie, de n électrons dans l'intervalle [0,L] subdivisé en pièces par un processus de Poisson, lorsque le quotient n/L tend vers ρ > 0. Ce modèle-jouet unidimensionnel réunit certains critères essentiels à une modélisation réaliste d'un ensemble de particules quantiques, à savoir une densité de particules positive ρ et un milieu aléatoire (dû aux imperfections). Nous cherchons à saisir le comportement de ses états fondamentaux en fonction de ρ, notamment via l'énergie fondamentale par particule. Nous essayons également de quantifier l'intrication spatiale de tels états, mesurée par l'entropie d'entrelacement. Dans le cas d'une interaction répulsive à courte portée, nous remarquons que le nombre d'électrons dans une pièce donnée admet une majoration commune à tout état fondamental. Nous optimisons parmi les groupes de pièces pouvant contenir au plus 2 particules et majorons la contribution des électrons restants pour obtenir un développement de l'énergie fondamentale par particule jusqu'à l'ordre O(ρ ^2-δ), pour tout δ ∈ (0,1), dans la limite thermodynamique. Cette méthode améliore le résultat de F. Klopp et N. A. Veniaminov, sous une hypothèse plus forte cependant. Elle fournit également un facteur commun à tout état fondamental. Par la suite, nous exprimons l'entropie d'entrelacement d'un état à répartition unique fixé, après scission en deux parties. Nous remarquons que celle-ci dépend uniquement du groupe de pièces où tombe la coupe. Nous calculons à O(ρ^2-δ) près la moyenne de l'entropie d'entrelacement associé au facteur commun obtenu précédemment. Nous conjecturons que, tout comme pour l'énergie fondamentale par particule, cette quantité est le terme principal de celle obtenue en considérant l'état fondamental à répartition unique tout entier. Par ailleurs, les résultats établis sur les systèmes de 2 particules pourraient, selon nous, s'adapter à d'autres situations.

This work aims to describe the ground states of the random Schrödinger operator associated with the pieces' model, both in the thermodynamic limit and in the Fermi-Dirac statistics. Thus, we consider the minimal distributions, in terms of energy, of n electrons in the interval [0,L] subdivided into pieces by a Poisson process, when the quotient n/L tends to ρ > 0. This one-dimensional toy model meets some of the essential criteria for realistic modeling of a set of quantum particles, namely a positive particle density ρ and a random medium (resulting from imperfections). We try to understand the behavior of its ground states as a function of ρ, via the ground state energy per particle. We also try to quantify the spatial entanglement of such states, measured using entanglement entropy. In the case of a short-range repulsive interaction, we notice that the number of electrons in a given room admits a common upper bound for any ground state. We optimize among groups of pieces that can contain at most 2 particles and majorize the remaining electrons contribution to get an expansion of the ground state energy per particle to the order O(ρ ^2-δ), for any δ ∈ (0,1), in the thermodynamic limit. This method improves the results of F. Klopp and N. A. Veniaminov, but under a stronger assumption. It also provides a common factor for any ground state. In the following, we express the entanglement entropy of a fixed single-distribution state after bipartition. We note that it depends only on the group of pieces where the split falls. We compute up to the order O(ρ^2-δ) the mean of the entanglement entropy associated with the common factor mentioned above. We conjecture that, as for the fundamental energy per particle, this quantity is the main term of the one given by a whole single-distribution ground state. Additionally, we believe that the results established on 2 particle systems may apply to other situations as well.