Techniques algébriques pour le décodage des codes de Reed-Solomon et cryptanalyse des schémas de type McEliece

Algebraic techniques for decoding Reed-Solomon codes and cryptanalyzing McEliece-like cryptosystems

• Auteur / Autrice : Rocco Mora
• Direction : Jean-Pierre Tillich
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 07/04/2023
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Informatique, télécommunications et électronique de Paris
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut national de recherche en informatique et en automatique (France). Centre de recherche de Paris (Paris)
• Jury : Président / Présidente : Alain Couvreur
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Magali Turrel Bardet, Vincent Neiger, Joachim Rosenthal, Nicolas Sendrier
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Daniel Smith-Tone, Ayoub Otmani

Mots clés

Mots clés contrôlés

Goppa, Codes de

Gröbner, Bases de

Codes de Reed-Solomon

Codes correcteurs d'erreurs (théorie de l'information)

Cryptographie

Mots clés libres

Cryptographie

Codes correcteurs d'erreurs

Bases de Gröbner

Cryptosystème de McEliece

Codes de Goppa

Codes de Reed-Solomon

Cryptography

Error correcting codes

Gröbner bases

Résumé

Les codes correcteurs d'erreurs algébriques répondent à de nombreux besoins du monde des communications et de l'information. La structure mathématique de ces familles de codes permet la conception d'algorithmes de codage et de décodage efficaces, permettant ainsi une variété d'applications technologiques. Dans ce manuscrit, nous nous intéressons à deux de ces aspects. Premièrement, nous abordons le problème du décodage des codes de Reed-Solomon. Nous proposons une nouvelle stratégie qui consiste à résoudre un système polynomial, dont les équations sont liées au ``power decoding'', en utilisant des techniques de bases de Gröbner. Nous montrons que pour certains paramètres notre approche permet d'atteindre et de dépasser le rayon de Johnson. Nous abordons ensuite la cryptographie à base de codes. Le plus ancien schéma de chiffrement à clé publique reposant sur des codes a été proposé en 1978 par McEliece. Après plus de quarante ans, le schéma de McEliece est toujours sûr et ce même vis à vis des ordinateurs quantiques. Nous analysons la structure algébrique et la sécurité des codes de Goppa et d'une famille plus large, les codes alternants. Le schéma de McEliece est construit à partir de codes de Goppa binaires. Nous étudions une méthode qui permet de distinguer ces derniers de codes aléatoires, pour peu que leur rendement soit suffisamment élevé. Nous développons aussi une attaque en temps polynomial sur les codes alternants à rendement élevé. Là encore, nous exploitons les bases de Gröbner pour résoudre un système qui modélise le problème de retrouver la clé secrète. Enfin, nous donnons une procédure pour améliorer dans certains cas la gamme des paramètres distinguables.

Résumé Algebraic error-correcting codes respond to numerous needs that emerge from the world of digital communications and information. The mathematical structure of these families of codes allows the design of efficient encoding and decoding algorithms, thus enabling a variety of applications in modern technologies. In this manuscript, we delve into two of these aspects. First, we tackle the decoding problem for Reed-Solomon codes. We propose a new strategy that consists of solving a polynomial system, whose equations are connected to the power decoding algorithm, by using Gröbner bases techniques. We show that for some parameters our approach allows to reach and exceed Johnson's radius. We then move to some topics related to code-based cryptography. The oldest public key encryption scheme relying on codes was proposed in 1978 by McEliece. After more than four decades, McEliece's scheme is still secure and even quantum computers do not represent a threat. We analyze the algebraic structure and the security of subfield subcodes of Reed-Solomon codes, namely alternant and Goppa codes. Among others, McEliece's scheme is built upon binary Goppa codes. We investigate an algebraic method that allows to distinguish alternant and Goppa codes from random ones, provided that their rate is high enough. This study brings us to develop a polynomial-time attack on high-rate alternant codes. Again, we exploit Gröbner bases to solve a polynomial system that models the key-recovery problem. Finally, we give a procedure to enhance in some cases the range of distinguishable parameters.