Density of disc and sphere packings : theoretical and computational aspects of local density approach

Densité des arrangements de disques et de sphères : aspects théoriques et computationnels de l’approche de densité locale

• Auteur / Autrice : Daria Pchelina
• Direction : Thomas Fernique
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 26/10/2023
• Etablissement(s) : Paris 13
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Galilée (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire d'informatique de Paris Nord (Paris)
• Jury : Président / Présidente : Xavier Goaoc
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Nabil Mustafa, Nathalie Revol, Guillaume Theyssier
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Sándor P. Fekete, Michaël Rao

Mots clés

Mots clés contrôlés

Empilements de sphères

Remplissage et recouvrement (géométrie combinatoire)

Kepler, Conjecture de

Mots clés libres

Arrangements de disques

Densité

Disc packings

Density

Résumé

Comment empiler un nombre infini d’oranges pour maximiser la proportion de l’espace couvert ? Kepler a conjecturé que l’empilement des “balles de canon” est optimal. 400 ans se sont écoulés avant que cette conjecture soit démontrée par Hales et Ferguson dont la preuve comporte 6 papiers et des dizaines de milliers de lignes de code informatique. Comment arranger un nombre infini de pièces de monnaie de 3 rayons différents sur une table infinie pour maximiser la proportion de la surface couverte ? Un arrangement de disques est dit triangulé si chacun de ses “trous” est borné par trois disques mutuellement tangents. Connelly a conjecturé que si de tels arrangements existent, l’un d’eux maximise la proportion de la surface couverte; cela est vrai pour les arrangements unaires et binaires. Dans cette thèse, nous étudions diverses techniques utilisées dans la preuve de la conjecture de Kepler ainsi que dans d’autres résultats importants de le domaine des arrangements de disques et de sphères, tels que la redistribution de la densité locale basée sur la recherche par l’ordinateur et l’arithmétique d’intervalles. Cela nous permet de prouver l’assertion de la conjecture de Connelly pour 32 triplets de rayons de disques triangulés et de la réfuter pour 45 autres triplets. En outre, nous obtenons des bornes précises sur la densité locale des cellules simpliciales dans les empilements à 2 sphères en 3D.

How to stack an infinite number of oranges to maximize the proportion of the covered space ? Kepler conjectured that the “cannonball” packing is an optimal way to do it. This conjecture took almost 400 years to prove, and the proof of Hales and Ferguson consists of 6 papers and tens of thousands of lines of computer code. Given an infinite number of coins of 3 fixed radii, how to place them on an infinitetable to maximize the proportion of the covered surface ? Triangulated disc packings are those where each “hole” is bounded by three pairwise tangent discs. Connelly con-jectured that for the sets of disc radii where triangulated packings exist, one of them maximizes the proportion of the covered surface; this holds for unary and binary discpackings. In this thesis, we study various techniques used in the proof of the Kepler conjecture and other crucial results of the domain of disc and sphere packings, such as local density redistribution based on computer search and interval arithmetic. This allows us to prove the statement of the Connelly conjecture for 32 triangulated triplets of disc radii and disprove it for 45 other triplets. Besides that, we obtain tight upper bounds on the local density of simplicial cells in 2-sphere packings in 3D.