Une approche par les groupes amples pour l’équivalence orbitale des actions minimales de Z sur l’espace de Cantor

Orbit equivalence of minimal Z-actions on the Cantor space : An approach by ample groups

• Auteur / Autrice : Simon Robert
• Direction : Julien Melleray
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathematiques
• Date : Soutenance le 19/09/2023
• Etablissement(s) : Lyon 1
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale en Informatique et Mathématiques de Lyon (2009-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Camille Jordan (Rhône ; 2005-....)
• Jury : Président / Présidente : Romain Tessera
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Julien Melleray, Romain Tessera, Samuel Petite, Nathalie Aubrun, Todor Tsankov, Anush Tserunyan
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Samuel Petite

Mots clés

Mots clés contrôlés

Systèmes dynamiques

Mathématiques -- Informatique

Ensembles de Cantor

Dynamique topologique

Mots clés libres

Dynamique topologique

Espace de Cantor

Equivalence orbitale

Complexité Borélienne de relations d'équivalence

Topological dynamics

Orbit equivalence

Cantor space

Borel complexity of equivalence relations

Résumé

Cette thèse s'inscrit dans le cadre de la dynamique topologique, branche des systèmes dynamiques s'intéressant aux comportements qualitatifs asymptotiques de transformations continues provenant d'une action de groupe ou de semigroupe sur un espace métrique usuellement compact. Par exemple, une question classique pourrait être de savoir si tel système dynamique admet des points récurrents, c'est à dire des points qui vont revenir arbitrairement proche de leur point de départ infiniment souvent sous la dynamique. Souvent, de par leur caractère qualitatif et asymptotique, ces propriétés ne dépendent pas précisément du système mais plutôt des orbites des points, i.e des positions qu'il vont atteindre. D'où la notion d'équivalence orbitale au coeur de cette thèse, qui consiste à considérer que, après identification des espaces sous-jacents, deux systèmes dont tous les points auraient les mêmes orbites seraient "qualitativement les mêmes". Au cours des années 90, Giordano Putnam et Skau ont réussi à établir grâce à des outils d'algèbre homologique une classification à équivalence orbitale près des systèmes dynamiques minimaux provenant d'actions de \Z sur l'espace de Cantor en termes à la fois de groupes pleins et de mesures invariantes. Ce résultat montre en particulier qu'il existe une infinité non-dénombrable de tels systèmes différents à équivalence orbitale près, ce qui contraste assez fortement avec le cadre de la théorie ergodique, domaine très proche s'intéressant aux systèmes dynamiques mesurés, dans lequel la combinaison de deux célèbres résultats, l'un dû à Ornstein et Weiss et l'autre à Dye montre qu'il n'y a à équivalence orbitale près qu'une seule action de groupe moyennable sur un espace de probabilité standard. Ma principale contribution à travers le présent manuscrit consiste à apporter un éclairage et des preuves dynamiques élémentaires aux classifications obtenues par Giordano, Putnam et Skau (celle sur l'équivalence orbitale susmentionnée ainsi qu'une autre traitant d'une variation nommée équivalence orbitale forte), tant afin de les comprendre sous une autre perspective que pour tenter de les étendre à d'autres contextes. Chemin faisant, je démontrerai également un résultat de complexité Borélienne, à savoir que la relation d'isomorphisme de groupes dénombrables, localement finis et simples et une relation universelle provenant d'une action Borélienne de S_\infty, et nous améliorerons un résultat de Krieger sur la conjugaison des groupes amples.

This thesis takes place in the context of topological dynamics, a branch of dynamical systems concerned with the asymptotic qualitative behavior of continuous transformations arising from a group or semigroup action on a usually compact metric space. For example, a classic question might be whether a dynamical system admits recurrent points, i.e. points that will return arbitrarily close to their starting point infinitely often under the dynamics. Often, because of their qualitative and asymptotic nature, these properties do not depend precisely on the system but rather on the orbits of the points, i.e. the positions they will reach. Hence the notion of orbit equivalence at the heart of this thesis, which consists in considering that, after identification of the underlying spaces, two systems whose points all have the same orbits would be "qualitatively the same". In the 1990s, Giordano Putnam and Skau used homological algebra to establish a classification up to orbit equivalence of minimal dynamical systems arising from Z-actions on a Cantor space in terms of both full groups and invariant measures. This result shows in particular that there are non-countably many such different systems up to orbit equivalence, which contrasts quite strongly with the framework of ergodic theory, a very close field concerned with measured dynamical systems, in which the combination of two famous results, one due to Ornstein and Weiss and the other to Dye, shows that there is only one amenable group action on a standard probability space up to orbit equivalence. My main contribution in the present manuscript is to bring an elementary perpective and dynamical proofs to the classifications obtained by Giordano, Putnam and Skau (the one on orbital equivalence mentioned above as well as another one dealing with a variation called strong orbital equivalence), both in order to understand them from another perspective and to try to extend them to other contexts. Along the way, I will also prove a result of Borelian complexity, namely that the isomorphism relation of countable, locally finite and simple groups and a universal relation arising from a Borelian action of S_\infty, and improve a result of Krieger about the conjugation of ample groups.