Approche variationnelle pour l'endommagement à gradient couplé avec la poroélasticité de milieux saturé et application à la modélisation en champ de phases

Thermodynamics based variational approach to poroelastic gradient damage of saturated media and application to phase field modeling

• Auteur / Autrice : Xiaodong Zhang
• Direction : Albert Giraud, Long Cheng
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mécanique - Génie civil
• Date : Soutenance le 18/12/2023
• Etablissement(s) : Université de Lorraine
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale SIReNa - Science et ingénierie des ressources naturelles (Lorraine ; 2018-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : GeoRessources
• Jury : Président / Présidente : Laurent Stainier
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Albert Giraud, Long Cheng, Boumédiene Nedjar, Vincent Monchiet, Djimédo Kondo, Céline Bouby, Carole Nadot-Martin
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Boumédiene Nedjar, Vincent Monchiet

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations de Darcy Brinkman Forchheimer

Dynamique des fluides

Thermodynamique

Modélisation à paramètres variants

Poroélasticité

Matériaux poreux

Mécanique de l'endommagement (milieux continus)

Mots clés libres

Modèle de dommage par gradient

Poroélasticité

Formulation thermodynamique

Approche variationnelle incrémentale

Flux de Darcy

Méthode des champs de phases

Gradient damage model

Poroelasticity

Thermodynamics formulation

Incremental variational approach

Darcy flow

Phase field method

Résumé

Cette thèse est dédiée à l'étude du couplage entre l'endommagement à gradient, la poroélasticité et le phénomène de transport de fluides dans des milieux poreux saturés. Pour atteindre cet objectif, nous commençons par une étape préliminaire en explorant un cadre variationnel basé sur la thermodynamique pour analyser l'endommagement à gradient dans les matériaux fragiles ou quasi-fragiles. À cet égard, deux méthodes variationnelles sont formulées et discutées : l'une est basée sur le principe des puissances virtuelles, tandis que l'autre utilise la minimisation de la fonctionnelle dite d'énergie totale. Il a été démontré que ces deux méthodes généralement conduisent des résultats cohérents et équivalents dans leurs résultats prédictifs. De plus, un cadre variationnel est rigoureusement établi pour ensuite inclure le couplage entre poroélasticité et écoulement des fluides dans les milieux saturés. En s'appuyant sur la thermodynamique en question, le concept de porosité cinétique est introduit pour clarifier l'interaction entre la déformation du squelette et la filtration des fluides dans l'espace poreux connecté. Profitant de cette définition, une fonctionnelle énergétique incrémentale est formulée, en fonction du déplacement du squelette, de la pression du fluide et de la porosité cinétique. Suite à une approximation appropriée de cette dernière dans l'incrément de temps, cette fonctionnelle énergétique est réduite en fonction de deux champs. La minimisation de cette fonctionnelle est démontrée comme capable de fournir l'état stationnaire du milieu concerné, établissant ainsi les principes variationnels correspondants. Par la suite, un modèle poroélastique variationnel est proposé en incorporant l'écoulement linéaire de Darcy, qui est également numériquement implémenté en utilisant des éléments finis mixtes pour résoudre ce problème couplé. Grâce à ces principes thermodynamiques et variationnels, la théorie de la poroélasticité de Biot-Coussy est étendue pour intégrer les processus d'endommagement à gradient. Cette extension est ensuite utilisée pour établir une formulation variationnelle exprimée sous la forme d'un problème de minimisation incrémentale à quatre champs d'une fonctionnelle d'énergie totale incrémentale, qui intègre l'énergie poroélastique, ainsi que la dissipation liée à l'évolution d'endommagement et à l'écoulement du fluide. Conformément à ce qui précède, en profitant de l'approximation de ce que l'on appelle la porosité cinétique dans l'incrément de temps, la minimisation incrémentale est reformulée comme un problème à trois champs, impliquant les champs de déplacement et d'endommagement de la phase squelette du milieu poreux, ainsi que le champ de pression du fluide. Il est démontré que cela conduit à l'état stationnaire du milieu poreux saturé. Un principe variationnel incrémental est ainsi établi. Dans cette optique, un modèle variationnel pour ce problème entièrement couplé est proposé puis numériquement implémenté en utilisant un algorithme d'optimisation semi-alternée. Cette procédure est appliquée dans une modélisation de référence pour laquelle des solutions pertinentes et des résultats numériques liés à la fracturation hydraulique sont disponibles. Le modèle est également utilisé pour l'évaluation d'une zone endommagée par l'excavation (Excavation Damage Zone, i.e. EDZ) autour d'une galerie souterraine de stockage de déchets, où il s'avère capable de fournir des prévisions suffisamment fiables. Enfin, comme composant supplémentaire, une tentative préliminaire est faite pour intégrer certains éléments micromécaniques dans la modélisation variationnelle. Cette intégration est réalisée en introduisant la variable de densité des microfissures dans la formulation de l'énergie poroélastique. Un modèle formulé avec cette considération est également évalué au moyen de tests numériques correspondants et d'analyses comparatives.

This thesis is dedicated to the investigation of the coupling between gradient damage, poroelasticity and fluid transport phenomena in saturated porous media. To achieve this objective, we first focus on a thermodynamics-based variational framework for gradient damage in brittle or quasi-brittle materials. Within this context, two distinct variational methods are formulated and discussed: one is based on the virtual power principle, while the other employs the minimization of the so-called total energy functional. These two methods are demonstrated to generally yield consistent and equivalent results in their predictive outcomes. Moreover, A rigorous variational framework is established to include the coupling between poroelasticity and fluid flow in saturated media. Thanks to the corresponding thermodynamics framework, the concept of kinetic porosity is introduced to clarify the interaction between skeleton deformation and fluid filtration in the connected pore space of the skeleton. Taking advantage of this definition, an incremental energy functional is formulated, dependent on the displacement of the skeleton, fluid pressure, and kinetic porosity. Following a suitable approximation of the latter within the current time increment, this energy functional is reduced as two-fields dependent. The minimization of this functional is demonstrated as able to deliver the stationary state of the concerned media, leading to the corresponding variational principles. Subsequently, a variational poroelastic model is proposed by incorporating linear Darcy flow, which is also numerically implemented using mixed finite elements to address this coupled problem. Based on the these formulations, the thermodynamics-based Biot-Coussy theory of poroelasticity is further extended to incorporate gradient damage processes. This extension is then utilized to establish a variational formulation expressed as a four-field incremental minimization problem of an incremental total energy functional, which incorporates poroelastic energy, as well as the dissipation linked to damage evolution and fluid flow in time increment. Again, taking advantage of the approximation of the so-called ''kinetic porosity'', the incremental minimization is reformulated as a three-field problem, involving the displacement and damage fields of the porous media's skeleton phase, along with the fluid pressure field, which is shown to result in the stationary state of the saturated porous media. An incremental variational principle is thus established. Following this, a variational model for the fully coupled problem is proposed and is numerically implemented by utilizing a semi-staggered optimization algorithm. This procedure is applied in a benchmark modeling for which relevant solutions and numerical results related to hydraulic fracturing are available. The model is also employed for the evaluation of an Excavation Damage Zone (EDZ) around a waste storage underground gallery, where it is shown to be able to deliver sufficiently reliable predictions. Finally, as an additional component, an preliminary attempt is made to integrate some specific micromechanical elements into the variational modeling. This is achieved by introducing the variable of microcrack density into the derivation of poroelastic energy. The resulting micromechanics-based model is also assessed through corresponding numerical tests and comparative analyses.