Études mathématiques et numériques de la complémentarité aux valeurs propres et des problèmes d'accélération dans l'optimisation du premier ordre

Mathematical and numerical studies of eigenvalue complementarity problems, and acceleration methods in first-order optimization

• Auteur / Autrice : Manh Hung Le
• Direction : Samir Adly
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et applications
• Date : Soutenance le 20/12/2023
• Etablissement(s) : Limoges
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences et Ingénierie (Limoges ; 2022-)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : XLIM

Mots clés

Mots clés contrôlés

Optimisation mathématique

Systèmes dynamiques

Algorithmes optimaux

Théorie spectrale (mathématiques)

Mots clés libres

Problèmes de complémentarité

Méthodes des points intérieurs

Optimisation du premier ordre

Optimisation convexe

Algorithmes inertiels

Systèmes dynamiques

Complementarity problems

Interior point methods

First-order optimization

Convex optimization

Inertial algorithms

Dynamical systems

Résumé

Dans cette thèse, j’explore deux sujets clés. Premièrement, je m’intéresse à l’étude mathématique et numérique du problème de complémentarité des valeurs propres de Pareto et de sa contrepartie inverse. Notre approche utilise des méthodes de points intérieurs, complétées par une technique de lissage non paramétrique. L’efficacité des méthodologies proposées est soulignée par un ensemble d’expériences numériques. En mettant l’accent sur l’optimisation continue, nous adoptons une perspective de systèmes dynamiques. Plus précisément, nous étudions divers algorithmes inertiels à gradient proximal, discrétisés à partir d’un système dynamique inertiel non régulier comportant des éléments de frottement sec et d’amortissement piloté par le Hessien. En outre, nous examinons une équation d’évolution doublement non linéaire régie par deux potentiels, ainsi que l’accélération de sa convergence par l’application de techniques de mise à l’échelle temporelle et de calcul de la moyenne, ce qui se traduit par une dynamique inertielle comportant un frottement sec et un amortissement implicite induit par le hessien. Les tests numériques corroborent la performance supérieure des systèmes inertiels par rapport à leurs homologues du premier ordre, ce qui correspond aux résultats théoriques.

In this thesis, I explore two key topics. Firstly, I delve into the mathematical and numerical study of the Pareto eigenvalue complementarity problem and its inverse counterpart. Our approach employs interior point methods, supplemented by a non-parametric smoothing technique. The efficacy of these proposed methodologies is underscored through an array of numerical experiments. Shifting our focus to continuous optimization, we adopt a dynamical systems perspective. Specifically, we study various proximal gradient inertial algorithms, discretized from a non-regular inertial dynamical system featuring elements of dry friction and Hessian-driven damping. Additionally, we examine a doubly nonlinear evolution equation governed by two potentials, and its convergence acceleration through the application of time scaling and averaging techniques, which results in inertial dynamics featuring dry friction and implicit Hessian-driven damping. The numerical tests corroborate the superior performance of inertial systems over their first-order counterparts, aligning with the theoretical results.