Des EDPs pour le mouvement de foule

Partial differential equations for crowds motion

• Auteur / Autrice : Ghadir Jradi
• Direction : Noureddine Igbida
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et applications
• Date : Soutenance le 16/06/2023
• Etablissement(s) : Limoges
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences et Ingénierie (Limoges ; 2022-)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : XLIM
• Jury : Président / Présidente : Boris P. Andreianov
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Noureddine Igbida, Fahd Karami, Mostafa Bendahmane, Catherine Choquet, Thibault Liard
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Fahd Karami, Mostafa Bendahmane

Mots clés

Mots clés contrôlés

Modèles mathématiques

Théorie du transport

Foules

Équations aux dérivées partielles -- Solutions numériques

Mots clés libres

Existence de solution

Optimisation

Simulations numériques

Problème de Beckmann

Théorie des semigroupes

Existence of solution

Optimization

Numerical Simulations

Beckmann problem

Semigroup theory

Résumé

Dans cette thèse, nous proposons un nouveau modèle de type Prédiction-Correction décrivant le mouvement de foule. Le modèle proposé est un modèle macroscopique de transport où la foule est représentée par la densité des individus. Dans la première partie de la thèse, la vitesse de transport est donnée par un champ de vecteur constante au cours du temps, orienté vers les sorties les plus proches. La congestion est gérée par un terme de second ordre non-linéaire de diffusion active uniquement sur les régions du domaine où la densité coïncide avec la densité maximale autorisé. Nous proposons une résolution numérique basée sur la méthode de splitting en deux étapes, transport (prédiction) et diffusion (correction). Pour le transport, nous utilisons un schéma volumes finis pour la discrétisation et la prédiction de la densité. Pour la correction, nous proposons un nouveau problème d'optimisation de type Beckmann qu'on résout en utilisant un algorithme Primal-Dual (Chamboll-Pock). Dans la deuxième partie de la thèse, nous proposons une amélioration du premier modèle (avec vitesse constante). Cette amélioration est basée sur le modèle de Hughes, où l'équation du transport est couplée avec une équation eikonal, permettant à chaque instant de calculer un champ de vitesse orienté vers les sorties les plus proches en évitant les régions à densité élevée. Nous réalisons également différents tests numériques pour l'évacuation d'une salle avec différentes géométries et conditions initiales.

In this thesis, we propose a new Prediction-Correction model for crowd motion. The proposed model is a macroscopic transport model where the pedestrian dynamics is described by the evolution of the crowd density. The prediction phase is handled by a transport equation where the vector field is computed via an eikonal equation, with a positive continuous function connected to the speed of the spontaneous travel. The correction phase is handled by a new version of the minimum flow problem. We provide a numerical solution based on the splitting method, transport (prediction) and diffusion (correction). Combining finite volume method for the transport equation and Chambolle-Pock's primal dual algorithm for the eikonal equation and minimum flow problem, we present numerical simulations to demonstrate the behavior in different scenarios. In the second part of the thesis, we propose a modified version of the previous model (with constant velocity). This modification is based on the Hughes model, where the transport equation is coupled with an Eikonal equation. We also conduct various numerical tests for evacuating a room with different geometries and initial conditions.