Plus longues sous-séquences de mots aléatoires : limites, variance, et statistiques quantiques.

Random subsequences problems : asymptotics, variance, and quantum statistics.

• Auteur / Autrice : Clément Deslandes
• Direction : Karim Lounici, Christian Houdré
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 15/12/2023
• Etablissement(s) : Institut polytechnique de Paris en cotutelle avec Georgia institute of technology
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre de mathématiques appliquées (Palaiseau, Essonne) - Centre de Mathématiques Appliquées - Ecole Polytechnique
• Jury : Président / Présidente : Cristina Butucea
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Karim Lounici, Christian Houdré, Charles Bordenave, Jean-Christophe Breton, Pierre-Loïc Méliot, Michael Damron
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Charles Bordenave, Jean-Christophe Breton

Mots clés

Mots clés contrôlés

Statistique quantique

Probabilités

Mots clés libres

Probabilités

Sous-Suites

Statistiques quantiques

Probability

Subsequence

Quantum statistics

Résumé

Dans ce travail, nous considérons des problèmes de mots aléatoires et leurs applications. Un mot aléatoire de longueur n est une suite finie de variables aléatoires i.i.d. à valeurs dans un ensemble fini appelé alphabet (par exemple, une suite de lancers de pièces FPPPFPPF est un mot aléatoire de longueur 8). Le point de départ est le problème suivant: étant donné deux mots aléatoires, "qu'ont-ils en commun"? Le problème d'analyser la ressemblance entre deux mots aléatoires a émergé indépendamment dans de nombreux domaines, notamment l'informatique, la biologie, la linguistique...Malheureusement, peu de choses ont été démontrées sur ce problème fondamental de la longueur maximale d'une sous-séquence commune (notée LCS): la distribution limite, et même le comportement asymptotique de la variance, ne sont pas connus. Cependant, en modifiant légèrement le problème, il devient plus simple de trouver la distribution limite: le premier chapitre de notre travail est dédié à la limite en distribution de la longueur maximale des sous-séquences communes et croissantes. Cela signifie que l'on considère un alphabet ordonné, disons 1,...,m, et les sous-séquences qui sont simplement faites d'un bloc de 1's, suivi d'un bloc de 2's, ... et ainsi de suite (la sous-séquence est croissante, mais pas strictement). Dans ce cadre, nous sommes capable de donner la distribution limite, ainsi que le comportement asymtpotique de l'espérance et la variance.Dans le chapitre deux, nous nous intéressons au problème de la variance de LCS. Déterminer si la variance est asymptotiquement linéaire en n est un problème ouvert important. En introduisant des outils plus généraux, des résultats partiels pour la variance de LCS sont obtenus. Pour des fonctions de variables aléatoires indépendantes, diverses bornes supérieures et inférieures sont étudiées dans différents cadres. Elles sont ensuite appliquées au cas Bernoulli, Gaussien, indéfiniment divisible et à des variables aléatoires à valeurs dans un espace de Banach. Les méthodes vont du jackknife aux semi-groupes. De nouvelles applications sont présentées, permettant de retrouver et améliorer, en particulier, tous les encadrements connus de la variance de la longueur des plus longs sous-mots communs de deux mots aléatoires.Dans le troisième et dernier chapitre, nous considérons la longueur maximale d'une sous-séquence croissante (notée LIS) d'un seul mot aléatoire, et le lien étonnant avec les statistiques quantiques. En effet, estimer le spectre d'une matrice de densité d'un système quantique à partir de n copies de ce système équivaut à estimer la distribution des lettres d'un mot de longueur n étant donné la forme de son tableau obtenu par l'algorithme Robinson–Schensted–Knuth (RSK). Ainsi, nous étudions quelques aspects de la convergence en distribution des tableaux RSK associés à des mots aléatoires, obtenant des vitesses de convergence pour la distance de Kolmogorov. Puisque la longueur de la première ligne du tableau est LIS, une vitesse de convergence est donnée dans ce cas. Nous donnons ensuite des résultats sur deux estimateurs du spectre, avec des simulations numériques tendant à montrer que leur risque est inférieur à celui de l'estimateur "diagramme de Young empirique". Nous prouvons ensuite une nouvelle borne pour la somme des variances d'un diagramme de Young, et enfin, nous prouvons une borne sur "l'excès" d'un diagramme de Young avec une chaîne de Markov.

This work considers some random words combinatorial problems and their applications. A random word of length n is an n-tuple of, say, i.i.d. random variables taking values in a finite set called alphabet (for example, a sequence of coin tosses HTTTHTTH is a random word of length 8). The starting point of this endeavor is the following question: given two random words, "how much do they have in common"? The problem of analyzing the similarity between two random words has emerged independently in various fields, including computer science, biology, linguistics...Unfortunately, too little is known on the fundamental problem of the study of the length of the Longest Common Subsequences (LCS) of two random words: the asymptotic distribution, and even the asymptotics of the variance, are unknown. However, by slightly twisting this problem, it becomes easier to find the asymptotic distribution: the first chapter of our work is dedicated to the asymptotic distribution of the length of the longest common and increasing subsequences. There we consider a totally ordered alphabet with an order, say 1,..., m, and the subsequencesare simply made of a block of 1’s, followed by a block of 2’s, ... and so on (such a subsequence is increasing, but not strictly). In this framework, we are able to provide the asymptotic mean,variance and distribution of its maximal length.In the second chapter, we deal with the problem of the variance of the LCS. It is an important open problem to determine whether or not the variance is linear in n. By introducing a general framework going beyond this problem, partial results in this direction are presented. Indeed, for functions of independent random variables, various upper and lower variance bounds are revisitedin diverse settings. These are then specialized to the Bernoulli, Gaussian, infinitely divisible cases and to Banach space valued random variables. Frameworks and techniques vary from jackknivesthrough semigroups and beyond. Some new applications are presented, recovering and improving, in particular, all the known estimates on the variance of the length of the longest commonsubsequences of two random words.In the third and final chapter, we consider the Longest Increasing Subsequences (LIS) of one random word, and the surprising connection with quantum statistics. Indeed, estimating the spectrum of a density matrix of a quantum system with n copies of this system is equivalent to estimating the distribution of the letters of a word of size n given the Robinson–Schensted–Knuth (RSK) output shape of this word (a partition of n whose first term is the length of the LIS). Therefore, we revisit some aspects of the convergence of the cumulative shape of the RSK Young diagrams associated with random words, obtaining rates of convergence in Kolmogorov’s distance. Since the length of the top row of a diagram is the length of the longest increasing subsequences of the word, a corresponding rate result follows. We then provide results on two spectrum estimators, with numerical simulations tending to prove that their risk is smaller than with the empirical Young diagram estimator. Then we bound the sum of the variances of the Young diagram, and lastly, prove a bound on the "excess" of the shape of the RSK algorithm with the help of a Markov chain.