Structured Codes for Cryptography : from Source of Hardness to Applications

Codes Structurés pour la Cryptographie : des Fondations Théoriques de Sécurité aux Applications

• Auteur / Autrice : Maxime Bombar
• Direction : Alain Couvreur
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et informatique
• Date : Soutenance le 15/12/2023
• Etablissement(s) : Institut polytechnique de Paris
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de l'Institut polytechnique de Paris
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire d'informatique de l'École polytechnique (Palaiseau ; 1988-....) - Laboratoire d'informatique de l'École polytechnique [Palaiseau] / LIX
• Jury : Président / Présidente : Adeline Roux-Langlois
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Alain Couvreur, Steven D. Galbraith, Gilles Zémor, Thomas Debris-Alazard, André Chailloux, Lisa Maria Kohl, Damien Stehlé
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Steven D. Galbraith, Gilles Zémor

Mots clés

Mots clés contrôlés

Codes correcteurs d'erreurs (théorie de l'information)

Cryptographie post-quantique

Mots clés libres

Cryptographie post-Quantique

Codes structurés

Cryptanalyse et réductions

Générateur d'aléas corrélé

Modules de Carlitz

Post-Quantum cryptography

Structured codes

Cryptanalysis and reductions

Pseudorandom correlation generators

Carlitz modules

Résumé

Dans cette thèse, nous nous intéressons à la cryptographie fondée sur les codes correcteurs d'erreurs, et plus particulièrement sur ceux possédant une forte structure algébrique. La cryptographie à base de codes est ancienne, puisque McEliece proposait déjà en 1978 un schéma de chiffrement reposant, entre autres, sur la difficulté du problème de décodage. Il est important de noter que le cryptosystème de McEliece est encore aujourd'hui résistant aux attaques, y compris à l'aide d'un ordinateur quantique (même si ses paramètres ont dû être mis à jour pour s'adapter aux nouvelles normes de sécurité). En particulier, cela fait de McEliece le plus ancien cryptosystème avec cette propriété. En effet, il est connu depuis les années 1990 que l'algorithme de Shor présente une menace importante pour la cryptographie actuellement utilisée en pratique. Néanmoins, le système de McEliece souffre d'un gros inconvénient : ses clés publiques sont énormes. Afin de résoudre ce problème de taille, il a été proposé d'utiliser des codes correcteurs d'erreurs avec une structure algébrique additionnelle comme les codes quasi-cycliques, offrant une représentation plus compacte et de meilleures performances. Cependant,il est fondamental de s'assurer que cette efficacité ne se fasse pasau détriment de la sécurité. Ceci est d'autant plus important que le NIST (National Institute for Standards and Technology) a annoncé que le prochain standard de chiffrement post-quantique serait choisi parmi trois candidats, dont deux (BIKE et HQC) utilisent des codes structurés. Néanmoins, HQC est fondé sur un paradigme différent de celui de McEliece : sa sécurité repose sur la difficulté d'une variante dite décisionnelle du problème de décodage. Si dans le cas des codes génériques il est connu que les variantes de recherche et de décision sont en réalité équivalentes, la situation est beaucoup moins claire dans le cas des codes structurés pour lesquels aucune réduction de recherche-à-décision n'est connue. Cependant, l'existence de réductions théoriques vers des problèmes dont la difficulté est bien établie est une caractéristique importante pour accroître la confiance en un cryptosystème. En particulier, l'une des contributions de cette thèse est une attaque sur des chiffrements à base de codes en métrique rang (une autre forme de codes structurés) qui ne possédaient pas ce type de réduction. C'est dans ce contexte que se place la deuxième partie de cette thèse : inspirés par des techniques utilisées en cryptographie à base de réseaux euclidiens, nous donnons la première réduction de recherche-à-décision pour certaines familles de codes quasi-cycliques. Elle repose sur une nouvelle interprétation de ces codes à l'aide d'outils issus de la théorie des corps de fonctions en caractéristique positive : les modules de Carlitz. Cependant, cette réduction présente certaines limitations que nous tentons ensuite de lever. Finalement, dans une dernière partie nous explorons une autre application de ces codes structurés dans le domaine du calcul multiparti sécurisé (MPC). L'objectif d'un protocole de MPC est de permettre à plusieurs joueurs d'effectuer un calcul ensemble de telle sorte qu'ils n'aient chacun qu'une connaissance partielle de l'entrée,et que personne ne puisse apprendre autre chose que la sortie. Il s'avère qu'un outil appelé PCG a été récemment introduit afin de distribuer efficacement aux joueurs de longues listes d'éléments aléatoires corrélés qui permettent ensuite d'accélérer les calculs.Notre analyse des codes quasi-cycliques permet alors de donner des fondations théoriques plus solides aux meilleurs constructions de PCG.Enfin, en utilisant pour la première fois la variante décisionnelle du problème de décodage des codes dits quasi-abéliens, dont nous analysons la difficulté à la lumière des techniques développées dans cette thèse, nous sommes capables de lever certaines limitations des constructions de l'état de l'art.

In this PhD thesis, we focus on cryptography based on error-correcting codes, and more specifically on those offering a strong algebraic structure. Code-based cryptography is not new, as McEliece already proposed in 1978 an en cryption scheme which relies, among otherthings, on the hardness of the decoding problem. It is important to note that McEliece cryptosystem still appears to be resistant to knownattacks (even though its parameters needed to be updated to meet newsecurity standards), including those involving quantum computers. In particular, this makes of McEliece the oldest cryptosystem with thisproperty. Indeed, it is known since the 1990s that Shor algorithm poses a significant threat to the cryptography currently used inpractice. However, McEliece system suffers from a major drawback: its public keys are huge. In order to address this issue, it was proposed to use error-correcting codes with an additional algebraic structure,such as quasi-cyclic codes, which allow for a more compactre presentation and better performances. However, it is fundamental to ensure that this efficiency does not come at the expense of security.This is especially important as the National Institute for Standardsand Technology (NIST) has announced that the next post-quantumen cryption standard will be chosen out of three candidates, two ofthem (BIKE and HQC) based on structured codes. Nevertheless, HQCrelies on a different paradigm than that of McEliece: its security is based on the difficulty of the so-called decisional variant of the decoding problem. In the case of generic codes, it is known that thedecisional and search versions, which is the most studied one, are in fact equivalent. However, the situation is much more uncertain in thecase of structured codes for which no reduction from search todecision is known. Yet, the existence of theoretical reductions towell-established hard problems is an important characteristic to increase confidence in a cryptosystem. In particular, one of the contributions of this thesis is an attack on code-based encryptionschemes based on rank metric codes (another form of structured codes) that did not have this kind of reduction. This is the context of these cond part of this thesis. Inspired by some techniques from lattice-based cryptography, we provide the first search-to-decision reduction for certain families of quasi-cyclic codes. It is based on a new interpretation of these codes using tools arising from the theory of function fields in positive characteristic, namely the Carlitz Modules. However, this reduction has certain limitations which we tryto overcome. Finally, in the last part, we explore another application of these structured codes in the field of secure multipartycomputation (MPC). The goal of an MPC protocol is to allow several players to perform a computation together so that they each only haspartial knowledge of the input, and no one learns anything else than the output. It turns out that they can often benefit from long listsof correlated random elements to achieve fast computation, and a new tool called Pseudorandom Correlation Generators (PCG) was recently introduced to efficiently generate those long list. Thanks to ouranalysis of quasi-cyclic codes, we provide a more solid theoretical foundation for the best PCG constructions. Last but not least, we introduce for the first-time the decisional variant of the decoding problem of so-called quasi-abelian codes, and analyse its hardness inlight of the techniques developed in this thesis. This allows us toovercome certain limitations of the state-of-the-art PCGs.