Analyse numérique des schémas de Boltzmann sur réseau : des questions fondamentales aux méthodes adaptatives efficientes et précises

Numerical analysis of lattice Boltzmann schemes : from fundamental issues to efficient and accurate adaptive methods

• Auteur / Autrice : Thomas Bellotti
• Direction : Marc Massot, Benjamin Graille
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 01/06/2023
• Etablissement(s) : Institut polytechnique de Paris
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre de mathématiques appliquées (Palaiseau, Essonne) - Centre de Mathématiques Appliquées - Ecole Polytechnique
• Jury : Président / Présidente : Christophe Chalons
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Marc Massot, Paul Dellar, Philippe Helluy, Pierre Sagaut, Denise Aregba-Driollet, Li-Shi Luo, Irina Ginzburg
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Paul Dellar, Philippe Helluy, Pierre Sagaut

Mots clés

Mots clés contrôlés

Analyse numérique

Méthode de Boltzmann sur réseau

Mots clés libres

Boltzmann sur réseau

Analyse numérique

Multirésolution adaptative

Différences finies

Consistance

Stabilité

Lattice Boltzmann

Numerical analysis

Adaptive multiresolution

Finite difference

Consistency

Stability

Résumé

Le travail faisant l'objet de cette thèse s'inscrit dans le domaine de l'étude des méthodes numériques pour les équations aux dérivées partielles et porte une attention particulière aux schémas de Boltzmann sur réseau. Cette classe de schémas est utilisée depuis la fin des années '80, en particulier en mécanique des fluides, et se caractérise par sa grande rapidité. Cependant, les méthodes de Boltzmann sur réseau sont très gourmandes en termes d'espace mémoire et conçues pour des maillages Cartésiens uniformes. De plus, nous manquons d'outils théoriques généraux qui permettent d'en analyser la consistance, la stabilité et enfin la convergence. Le travail de thèse s'articule autour de deux axes principaux. Le premier consiste à proposer une stratégie permettant d'appliquer les méthodes de Boltzmann sur réseau à des grilles de calcul non-uniformes adaptées dynamiquement en temps, afin de réduire le coût de calcul et de stockage. Le fait de pouvoir contrôler l'erreur commise et d'être en mesure d'employer la méthode quel que soit le schéma de Boltzmann sous-jacent sont des contraintes supplémentaires à prendre en compte. Pour cela, nous proposons d'adapter dynamiquement le réseau ainsi que d'ajuster toute méthode de Boltzmann à des maillages non-uniformes en nous appuyant sur la multirésolution. Cela a permis de proposer un cadre innovant pour des maillages mobiles en respectant les contraintes posées. Ensuite, nous démontrons que la méthode proposée présente d'excellentes propriétés en termes de perturbations introduites sur le schéma originel et qu'elle permet ainsi de réduire les phénomènes parasites liés aux maillages adaptés. L'implémentation de cette procédure dans un logiciel ouvert, permettant de représenter et gérer des grilles adaptées par différentes approches dans un cadre unifié et innovant, est ensuite abordée. Le second axe de recherche consiste à donner un cadre mathématiquement rigoureux aux méthodes de Boltzmann sur réseau, lié en particulier à leur consistance vis-à-vis des EDPs visées, leur stabilité et donc leur convergence. Pour cela, nous proposons une procédure, basée sur des résultats d'algèbre, pour éliminer les moments non-conservés de n'importe quel schéma de Boltzmann sur réseau, en le transformant en un schéma aux différences finies multi-pas sur les moments conservés. Les notions de consistance et stabilité pertinentes pour les méthodes de Boltzmann sur réseau sont donc celles des schémas aux différences finies. En particulier, tous les résultats concernant ces derniers, entre autres le théorème de Lax, se transpose naturellement aux schémas de Boltzmann sur réseau. Une étape ultérieure consiste à étudier la consistance et la stabilité directement sur le schéma de départ sans devoir calculer sa méthode aux différences finies ``correspondante''. Cela permet d'en obtenir les équations modifiées et de montrer le bien-fondé des analyses de stabilité à la von Neumann couramment utilisées au sein de la communauté. Ce nouveau cadre théorique permet aussi d'étudier l'influence de l'initialisation des méthodes sur le résultat des simulations ainsi que d'entamer des études préliminaires sur la monotonie des schémas de Boltzmann sur réseau et sur leurs conditions aux limites, qui constituent des ouvertures pour des travaux futurs.

The work presented in this thesis falls within the field tackling the analysis of numerical methods for Partial Differential Equations and pays particular attention to lattice Boltzmann schemes.This class of schemes has been used since the end of the 1980s, particularly in fluid mechanics, and is characterised by its great computational efficiency. However, lattice Boltzmann methods are very demanding in terms of memory space and are designed for uniform Cartesian meshes. Moreover, we lack general theoretical tools allowing us to analyse their consistency, stability and finally convergence. The work of the thesis is articulated around two main axes. The first one consists in proposing a strategy to apply lattice Boltzmann methods to non-uniform grids being adapted in time, in order to reduce the computing and storage costs. The ability to control the error and to be able to use the same approach irrespective of the underlying lattice Boltzmann scheme are additional constraints to be taken into account. To this end, we propose to dynamically adapt the lattice as well as to adjust any Boltzmann method to non-uniform meshes by relying on multiresolution analysis. This allows us to propose an innovative framework for moving meshes while respecting the posed constraints. Then, we demonstrate that the proposed method has excellent properties in terms of the perturbations of the original scheme and that it thus allows to reduce the spurious phenomena linked to the adapted meshes. The implementation of this procedure in an open-source software, allowing to represent and manage adapted grids by different approaches in a unified and innovative framework, is then addressed. The second line of research consists in giving a mathematically rigorous framework to the lattice Boltzmann methods, related in particular to their consistency with respect to the target PDEs, their stability, and thus their convergence. For this purpose, we propose a procedure, based on algebraic results, to eliminate the non-conservative moments of any lattice Boltzmann scheme, by recasting it into a multi-step Finite Difference scheme on the conserved moments. The notions of consistency and stability relevant to lattice Boltzmann methods are therefore those of Finite Difference schemes. In particular, all the results concerning the latter, among others the Lax theorem, are naturally transposed to the lattice Boltzmann schemes. A further step consists in studying the consistency and stability directly on the original scheme without having to calculate its ``corresponding'' Finite Difference method. This allows us to obtain the modified equations and to show the validity of the von Neumann stability analyses commonly used within the community. This new theoretical framework also makes it possible to study the influence of the initialization of the methods on the result of the simulations as well as to initiate preliminary studies on the monotonicity of lattice Boltzmann schemes and on their boundary conditions, which constitute openings for future work.