Méthodes asymptotiques pour des métamatériaux acoustiques résonants

Asymptotic methods for resonant acoustical metamaterials

• Auteur / Autrice : Carl Zhou Hagström
• Direction : Kim Pham
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mécanique des fluides et des solides, acoustique
• Date : Soutenance le 07/04/2023
• Etablissement(s) : Institut polytechnique de Paris
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de l'Institut polytechnique de Paris
• Partenaire(s) de recherche : Établissement opérateur d'inscription : École nationale supérieure de techniques avancées (Palaiseau, Essonne ; 1970-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut des sciences de la mécanique et applications industrielles (Palaiseau, Essonne ; 2015-....)
• Jury : Président / Présidente : Mathias Fink
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Kim Pham, Sébastien Guenneau, Vincent Pagneux, Christophe Josserand, Agnès Maurel
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Sébastien Guenneau, Vincent Pagneux

Mots clés

Mots clés contrôlés

Physique mathématique

Mots clés libres

Méthode asymptotique

Métamatériaux

Homogénéisation

Propagation des ondes

Homogenization

Asymptotic method

Metamaterials

Wave propagation

Résumé

Dans cette thèse, nous nous intéressons aux modèles asymptotiques effectives pour décrire les métamatériaux acoustiques résonnants.La première partie de la thèse est consacrée à l'étude des réseaux à double période, parfois appelés réseaux composés. Dans le cas d'un réseau à double période, composé d'une cellule unitaire périodique avec deux fentes, nous nous intéressons à la configuration où une certaine symétrie est brisée. En faisant cela, le champ évanescent le long de la structure peut se coupler avec le continuum de propagation. Les résonances parfaites deviennent des quasi-résonances, ou des modes de fuite, et cela conduit à un comportement frappant dans les spectres de transmission, où des pics asymétriques de type Fano sont observés.Dans le premier chapitre, nous présentons le cadre du problème. Dans le deuxième chapitre, nous présentons les propriétés physiques du métamatériau à double période. Nous illustrons numériquement les occurrences des modes piégés et le repliement en branche de l'onde guidée, qui permettent la présence de la résonance de Fano. La dérivation du modèle effectif homogénéisé d'un métamatériau à double période est ensuite présentée, et nous montrons l'importance de l'analyse aux bords du réseau. Les résultats montrent que le modèle est précis jusqu'à des fréquences étonnamment élevées. En outre, le modèle obtenu permet de dériver des solutions en forme fermée et d'étudier de manière analytique les résonances présentées par le réseau.La deuxième partie se concentre sur les matériaux enroulés dans l'espace dans le contexte acoustique. Comme nous l'avons mentionné, ces matériaux enroulés dans l'espace ou labyrinthiques reposent sur l'idée que les ondes acoustiques sont forcées de suivre la trajectoire de la fente enroulée. Les géométries en spirale et le pliage de la fente ont permis une conception compacte lorsqu'il s'agit d'ondes de surface. En faisant varier l'enroulement d'une cellule à l'autre, on peut régler le déphasage et ainsi obtenir une orientation du faisceau. D'un point de vue théorique, quelques tentatives de calcul du coefficient effectif ont été faites. La question de la longueur effective, c'est-à-dire la longueur équivalente de son analogue non enroulé, a suscité un grand intérêt, et les quelques résultats reposent sur une définition heuristique de l'analogue non enroulé. Nous abordons ce problème par une approche d'homogénéisation plus rigoureuse, et nous montrons qu'en réarrangeant l'enroulement, on peut obtenir une réponse plus riche.Dans le troisième chapitre, nous revisitons les matériaux classiques enroulés dans l'espace par une homogénéisation classique et nous montrons que, bien que les résultats précédents aient donné de bons résultats par intuition, l'approche d'homogénéisation donne un indice effectif équivalent plus précis. Les résultats sont illustrés par des exemples numériques, et les résultats de la littérature existante sont comparés.Le quatrième chapitre concerne l'étude de ce que nous appelons un méta-cristal. Il consiste en un matériau enroulé dans l'espace, avec des fentes droites de l'ordre de la longueur d'onde. Grâce à une mise à l'échelle minutieuse, nous dérivons un modèle efficace qui permet une propagation unidimensionnelle à l'intérieur de chaque fente et où chaque tour éloigné de l'ordre de la longueur d'onde agit comme un diffuseur. Ceci peut être interprété comme un cristal phononique unidimensionnel intégré dans un réseau sub-longueur d'onde, qui bénéficie maintenant de deux échelles de longueur. La structure bénéficie de bandes interdites dues à la diffusion de Bragg, qui est couplée aux résonances de Fabry-Pérot. La taille totale de l'échantillon reste cependant petite grâce au pliage des fentes. Grâce au modèle effectif dérivé, la dispersion du cristal incorporé peut être obtenue, ce qui permet de comprendre le mécanisme sous-jacent.

In this thesis, we are interested in effective asymptotic models to describe resonant acoustic metamaterials.The first part of the thesis is devoted to the study of dual-period array, sometimes referred to as compound gratings. When dealing with a dual-period grating, composed of a periodic unit cell with two slits, we are interested in the configuration where some symmetry is broken. By doing so, the evanescent field along the structure can couple with the propagating continuum. The perfect resonances becomes quasi-resonance, or leaky modes, and this leads to some striking behaviour in the transmission spectra, where asymmetric Fano like peaks are observed.In the first chapter, we present the problem setting. We will consider in this work the propagation a scalar wave, corresponding to solving the Helmholtz equation in two dimensions. We recall some properties of a regular subwavelegnth gratings and the a semi analytical modelling. We recall some fundamental properties, and establish the homogenization setting for the rest of the manuscript.In the second chapter, we present the physical properties of the dual period metagrating. We illustrate numerically the occurrences of trapped modes and the branch folding of guided wave, which allow the presence of the Fano resonance. The derivation of the homogenized effective model of a dual period metagrating is then presented, and we show the importance of the analysis at the edges of the array. The results show that the model is accurate up to surprisingly high frequencies. Furthermore, the obtained model allows for the derivation of closed form solutions and an analytical study of resonances exhibited by theThe second part focuses on space-coiled materials in the acoustic setting. As mentioned, these space-coiled or labyrinthine materials rely on the idea that the acoustic wave are forced to follow the path of the coiled slot. Spiral geometries and folding of the slot has allowed for compact design when dealing with surface waves. It has also stimulated a lot of research in terms of wave front manipulation. This can result in possibly large phase shift of the transmitted wave compared to the thickness of the structure. By varying the coiling from a cell to another, one can tune the phase shift and thus obtain beam steering. From a theoretical point of view, few attempts of deriving effective coefficient have been made. The question of effective length, i.e. the equivalent length of its uncoiled analogue, has been of great interest, and the few results rely on some heuristic definition of the uncoiled analogue. We tackle this problem through a more rigorous homogenization approach, and show that through some rearrangement of the coiling, one can obtain a richer response.In the third chapter, we revisit the classical space-coiled materials through classical homogenization and show that, although previous results have shown good results through intuition, the homogenization approach gives a more accurate equivalent effective index. The result are illustrated with numerical examples, and results from the existing literature are compared.The fourth chapter concerns the study of what we refer to as a meta-crystal. It consists of a space-coiled material, with straight slots of the order of the wavelength. Through some careful scaling, we derive an effective model which allows for one dimensional propagation inside each slot and where each turn distanced at the ordered of the wavelength acts as a scatterer. This can be interpreted as a one dimensional phononic crystal embedded in a subwavelength grating, which now benefits from two length-scales. The structure benefits from band gaps due to Bragg scattering, that is coupled with the Fabry-Pérot resonances. The total sample size stays however small thanks to the folding of the slots. Thanks to the derived effective model, the dispersion of the embedded crystal can be obtained, giving insight on the underlying mechanism.