Feuilletages mesurés à l'infini et surfaces à courbure moyenne constante dans une variété quasi-fuchsienne près du locus fuchsien

Measured foliations at infinity and constant mean curvature surfaces in quasi-Fuchsian manifold near the Fuchsian locus

• Auteur / Autrice : Diptaishik Choudhury
• Direction : Gregory McShane, Jean-Marc Schlenker, Andrea Seppi
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 21/04/2023
• Etablissement(s) : Université Grenoble Alpes en cotutelle avec Université du Luxembourg
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble ; 199.-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Fourier (Grenoble)
• Jury : Président / Présidente : Sarah Scherotzke
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Erwan Lanneau
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Francois Fillastre, Thierry Barbot

Mots clés

Mots clés contrôlés

Topologie

Géométrie de Riemann

Géométrie hyperbolique

Mots clés libres

Géométrie hyperbolique

Géométrie Riemanienne

Topologie

Topology

Riemannian Geometry

Geometrie hyperbolique

Résumé

Le sujet principal de cette thèse est une certaine classe de variétés hyperboliques appelées variétés quasi-fuchsiennes. Étant donné une surface hyperbolique fermée et orientée S, ces variétés sont homéomorphes à times mathbb{R}. Nous étudions deux questions les concernant : l'une porte sur les textit{foliations mesurées à l'infini} et l'autre sur les textitfoliations par surfaces à courbure moyenne constante.Les feuilletages mesurés à l'infini des variétés quasi-fuchsiennes sont un analogue naturel à l'infini des laminations de flexion mesurées à la limite de son noyau convexe. Étant donné une paire de feuilletages mesurés (f_{+},f_{-}) qui remplissent une surface hyperbolique fermée S et sont {arationnels}, nous prouvons que pour t>0 suffisamment petit t fp et tfm peuvent être uniquement réalisés comme les {foliations mesurées à l'infini} d'une variété quasi-fuchsienne homéomorphe à Stimes mathbb{R}, qui est suffisamment proche du lieu fuchsien. La preuve est basée sur celle de Bonahon dans cite{bonahon05} qui montre qu'une variété quasi-fuchsienne proche du lieu fuchsien peut être uniquement déterminée par les données de remplissage des laminations de flexion mesurées sur la frontière de son noyau convexe. Enfin, nous interprétons le résultat en géométrie {half-pipe}.Pour la deuxième partie de la thèse nous traitons une conjecture due à Thurston qui demande si les variétés quasi-fuchsiennes admettent un feuilletage par des surfaces CMC. Ici, les variétés quasi-fuchsiennes sont définies comme des variétés quasi-fuchsiennes qui contiennent une surface minimale unique avec des courbures principales en (-1,1) et on sait qu'en général, les variétés quasi-fuchsiennes ne sont pas feuilletées par des surfaces de constante courbure moyenne (CMC) bien que leurs extrémités le soient. Nous prouvons que les variétés quasi-fuchsiennes qui sont suffisamment proches d'être fuchsiennes sont en effet feuilletées de façon monotone par des surfaces de courbure moyenne constante. Ce travail est en collaboration avec Filippo Mazzoli et Andrea Seppi.

The main subject of this thesis are hyperbolic 3-manifolds homeomorphic to S × R, called quasi-Fuchsianmanifolds, where S is a closed, oriented surface with genus g ≥ 2, i.e. a hyperbolic surface. We studytwo questions regarding them: one is on measured foliations at infinity and the other is on foliations byconstant mean curvature surfaces.Measured foliations at infinity of quasi-Fuchsian manifolds are a natural analog at infinity to the measuredbending laminations on the boundary of their convex cores. Given a pair of measured foliations(F+, F−) which fill a closed hyperbolic surface S and are arational, we prove that for t > 0 sufficientlysmall tF+ and tF− can be uniquely realised as the measured foliations at infinity of a quasi-Fuchsian manifoldhomeomorphic to S×R, which is sufficiently close to the Fuchsian locus. The proof is inspired by thatof Bonahon in [5] which shows that a quasi-Fuchsian manifold close to the Fuchsian locus can be uniquelydetermined by the data of filling measured bending laminations on the boundary of its convex core. Wealso give a version of the theorem in half-pipe geometry.For the second part of the thesis we deal with a conjecture due to Thurston which asks if almost-Fuchsianmanifolds admit a foliation by constant mean curvature (CMC) surfaces. Here, almost-Fuchsian manifoldsare defined as quasi-Fuchsian manifolds which contain a unique minimal surface with principal curvaturesin (−1, 1) and it is known that in general, quasi-Fuchsian manifolds are not foliated by surfaces ofCMC although their ends are. We prove that almost-Fuchsian manifolds which are sufficiently close tobeing Fuchsian are indeed monotonically foliated by surfaces of constant mean curvature. This work is incollaboration with Filippo Mazzoli and Andrea Seppi.