Effets de bord et comportement en temps long en théorie cinétique collisionnelle

Boundary effects and long time behavior in collisional kinetic theory

• Auteur / Autrice : Corentin Le Bihan
• Direction : Laure Saint-Raymond, Sergio Simonella
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 18/09/2023
• Etablissement(s) : Lyon, École normale supérieure
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale en Informatique et Mathématiques de Lyon (2009-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Unité de Mathématiques Pures et Appliquées (Lyon ; 1991-....)
• Jury : Président / Présidente : Cédric Villani
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Laure Saint-Raymond, Sergio Simonella, Cédric Villani, Bertrand Lods, Rossana Marra, Nicolas Rougerie, Nathalie Ayi, Chiara Saffirio
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Bertrand Lods, Rossana Marra

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations aux dérivées partielles

Théorie du transport

Mots clés libres

Théorie cinétique collisionnelle

Équation de Boltzmann

Équation de Landau

Dynamique des sphères dures

Conditions de bord stochastique

Limite de Boltzmann-Grad

Limite des collisions rasantes

Fluctuations autour de l'équilibre

Collisional kinetic theory

Boltzmann equation

Landau equation

Hard sphere dynamics

Stochastic boundary conditions

Boltzmann-Grad

Grazing collision limit

Fluctuation theory

Résumé

La thèse est consacrée à l'étude des équations aux dérivées partielles cinétiques décrivant les collisions dans un gaz ou un plasma de faible densité. Plus précisément, nous étudions la validation mathématique de l'équation de Boltzmann et de sa variante diffusive, l'équation Landau. Ces équations décrivent asymptotiquement des systèmes de particules évoluant selon les principes fondamentaux de la physique (les lois de Newton), dans un régime où le nombre de particules tend vers l'infinie. Nous nous intéressons en particulier à des systèmes déterministes, dans lesquels la distribution initiale des particules est la principale source de stochaticité. La première partie est dédiée à l'étude du gaz de sphères dures dans un domaine à bord. Les réflexions des particules au bord sont modélisées par des conditions au bord stochastiques: les particules conservent leurs énergies cinétiques, mais repartent dans une direction aléatoire. Pour ce modèle, nous avons dérivé l'équation de Boltzmann hors équilibre, mais seulement pour des temps courts (du même ordre de grandeur que dans le cas d'un domaine sans bord). La seconde partie est consacrée à la dérivation de l'équation de Landau linéarisée, projet que nous n'avons que partiellement abordé. Nous avons divisé le problème en deux étapes. Dans un second temps, nous dérivons dans la limite de collisions rasantes l'équation de Landau linéarisée à partir de l'équation de Boltzmann décrivant des potentiels d'interaction physiques. La première étape est la dérivation de l'équation de Boltzmann linéarisée pour les corrélations temporelles, dans la limite de Boltzmann-Grad. Pour cette dernière tâche, nous nous restreignons au système des sphères dures. Notre preuve n'utilise pas la théorie des billards (contrairement à la littérature précédente) et est potentiellement extensible à différents modèles d'interaction.

The thesis is devoted to the study of kinetic partial differential equations describing collisions in a low density gas or plasma. More precisely, we study the mathematical validity of the Boltzmann equation and its diffusive variant, the Landau equation. These equations provide an asymptotic description of systems of particles evolving according to the fundamental principles of physics (Newton's laws), in a regime where the number of particles tends towards infinity. We are particularly interested in deterministic dynamics, in which the initial particle distribution is the main source of stochasticity. The first part is dedicated to the study of the hard sphere gas in a domain with boundaries. The particles are reflected at the boundary according to stochastic conditions: the particles conserve their kinetic energy, but are reinjected in a random direction. For this model, we have derived the non-equilibrium Boltzmann equation, but only for short times (same order of magnitude of the case without boundary). The second part is devoted to the derivation of the linearized Landau equation, a project that we have only partially tackled. We have divided the problem into two stages. Secondly, in the limit of grazing collisions, we derive the linearized Landau equation from the Boltzmann equation describing physical interaction potentials. The first step is the derivation of the linearized Boltzmann equation for time-correlations, in the Boltzmann-Grad limit. For this last task, we restrict ourselves to the system of hard spheres. Our proof does not use the billiard theory (unlike previous literature) and is potentially extensible to different interaction models.