Motifs entiers et faisceaux pervers d'Artin : t-structures et propriété de Lefschetz faible

Integral Motives and perverse Sheaves : t-structures and weak Artin vanishing property

• Auteur / Autrice : Raphaël Ruimy
• Direction : Frédéric Déglise
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 11/09/2023
• Etablissement(s) : Lyon, École normale supérieure
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale en Informatique et Mathématiques de Lyon (2009-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Unité de Mathématiques Pures et Appliquées (Lyon ; 1991-....)
• Jury : Président / Présidente : Sophie Morel
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Frédéric Déglise, Sophie Morel, Jakob Scholbach, Wiesława Nizioł, Fabrice Orgogozo, Olivier Benoist
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Joseph Ayoub, Jakob Scholbach

Mots clés

Mots clés libres

Motifs

Faisceaux pervers

Représentations d’Artin

T-structure

Filtration par le poids

Théorème de Lefschetz affine

Motives

Perverse sheaves

Artin representations

T-structure

Weight filtration

Artin vanishing

Résumé

Dans cette thèse, on s’intéresse principalement à l’existence de t-structures sur les sous-catégories des objets d’Artin de catégories motiviques. Ces derniers sont les objets qui proviennent des motifs de schémas finis sur le schéma de base. On étudie d’abord le cas ℓ-adique où l’on dispose de la t-structure ordinaire et de la t-structure perverse que l’on cherche à restreindre aux objets d’Artin. Dans un deuxième temps, on s’intéresse au cas des motifs entiers ou rationnels où l’on ne dispose plus a priori de t-structures ; il faut alors les construire par des méthodes directes. Dans ces deux études, on se penche dans un premier temps sur les objets lisses que l’on relie à des systèmes locaux étales ou pro-étales, puis dans un deuxième temps sur la t-structure ordinaire qui existe toujours. Dans le cas ℓ-adique, on démontre ensuite que la t-structure perverse induit une t-structure sur les objets d’Artin lorsque le schéma de base est de dimension au plus 2 et pour certains schémas de dimension 3. Ce résultat tombe cependant en défaut pour les schémas de dimension 3 généraux. Dans le cas des coefficients Qℓ et lorsque le schéma de base est de type fini sur un corps fini, on construit également une t-structure dite homotopique perverse qui est la meilleure approximation possible d’une t-structure perverse sur les complexes ℓ-adiques d’Artin. La même approche permet de construire une t-structure sur les motifs d’Artin à coefficients rationnels. Les cœurs de ces deux t-structures ont des propriétés similaires à celles de la catégorie des faisceaux pervers et contiennent le motif d’Ayoub-Zucker ou sa réalisation. Enfin, on construit une t-structure motivique perverse sur les motifs d’Artin à coefficients entiers lorsque le schéma de base est de dimension au plus 2 et on montre que ce résultat tombe en défaut en dimension 4. Cette construction repose en particulier sur un analogue faible du théorème de Lefschetz affine.

In this thesis, we are mainly interested in the existence of t-structures on the subcategories of Artin objects of motivic categories. The latter are the objects that arise from motives of finite schemes on the base scheme. We first study the ℓ-adic setting, where we have the ordinary t-structure and the perverse t-structure, which we seek to restrict to Artin objects. Next, we look at the case of integral or rational motives, where t-structures are no longer available a priori and have to be constructed by direct methods. In both studies, we first focus on smooth objects, which we link to local systems, either étales or pro-étales, and then on the ordinary t-structure, the existence of which we prove in all cases. In the ℓ-adic case, we then show that the perverse t-structure induces a t-structure on Artin objects when the base scheme is of dimension at most 2 and for some base schemes of dimension 3. This result falls short, however, for general 3-dimensional schemes. In the case of Qℓ coefficients and when the base scheme is of finite type over a finite field, we also construct a so-called perverse homotopy t-structure which is the best possible approximation to a perverse t-structure on Artin ℓ-adic complexes. The same approach is used to construct a t-structure on Artin motives with rational coefficients. The hearts of both t-structures have properties similar to those of the category of perverse sheaves and contain the Ayoub-Zucker motive or its realization. Finally, we construct a perverse motivic t-structure on Artin motives with integer coefficients when the base scheme is of dimension at most 2 and show that this result falls short in dimension 4. This construction relies notably on a weak analogue of Artin's vanishing theorem.