Modélisation, approximation et simulation à l'aide de splines régulières sur des maillages non structurés

Modeling, approximation and simulation using smooth splines on unstructured meshes

• Auteur / Autrice : Michelangelo Marsala
• Direction : Bernard Mourrain, Angelos Mantzaflaris
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 15/12/2023
• Etablissement(s) : Université Côte d'Azur
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences fondamentales et appliquées
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut national de recherche en informatique et en automatique (France). Unité de recherche (Sophia Antipolis, Alpes-Maritimes)
• Jury : Président / Présidente : Carla Manni
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Bernard Mourrain, Angelos Mantzaflaris, Carla Manni, Carlotta Giannelli, Thomas Takacs, Giancarlo Sangalli
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Carlotta Giannelli, Thomas Takacs

Mots clés

Mots clés contrôlés

Géométrie algorithmique

Simulation par ordinateur

Approximation, Théorie de l'

Analyse isogéométrique

Splines, Théorie des

Mots clés libres

Constructions de splines

Domaines multipatch

Données de collage

Vertices extraordinaires

Analyse isogéométrique

Théorie de l'approximation

Spline constructions

Multipatch domains

Gluing data

Extraordinary vertices

Isogeometric analysis

Approximation theory

Résumé

Dans cette thèse, nous étudions de nouvelles constructions de splines sur des maillages non structurés à appliquer à des fins de modélisation, à des problèmes d'approximation et à la résolution numérique d'équations aux dérivées partielles .Pouvoir décrire avec précision une forme complexe n'est pas une tâche facile en modélisation géométrique, et cela devient encore plus difficile si nous avons besoin que le résultat soit adapté aux simulations numériques. C'est le défi qui a motivé le sujet de ce travail : explorer de nouvelles constructions de splines qui ont le potentiel de reproduire fidèlement des géométries compliquées et qui, en même temps, sont adaptées à l'exécution d'expériences d'analyse isogéométrique.Nous présentons tout d'abord la dérivation d'une famille de surfaces globalement G^1 lisses, définies par des masques de lissage, approchant le schéma bien connu de la surface de subdivision de Catmull-Clark. La surface résultante est une collection de points de Bézier, qui sont biquintiques G^1 autour de sommets extraordinaires et bicubiques ailleurs. Chaque point de Bézier est calculé à l'aide d'un masque défini localement qui assure, au moyen de données de collage quadratique, la régularité G^1 autour des sommets extraordinaires des patchs correspondants. Nous poursuivons avec la description d'un ensemble de bases générant l'espace des splines G^1 biquintiques sur une maille quadrangulaire. La base est représentée en termes de polynômes de Bézier biquintiques sur chaque face du quadrilatère.sur chaque face du quadrilatère. A partir de l'équation définissant les relations G^1 entre deux patchs, obtenue par des fonctions de données de collage quadratique, nous effectuons une procédure d'extraction afin d'obtenir les valeurs du point de contrôle définissant les différentes bases.Ces dernières bases, en raison de leur définition, s'avèrent ne pas être adaptées à l'analyse. C'est pourquoi nous étudions une nouvelle construction de fonctions de base spline G^1 avec un bidegree 5 convenant aux simulations d'analyse isogéométrique. La construction est réalisée en considérant des vecteurs de nœuds composés de nœuds de multiplicité 5 et en imposant une régularité C^1 dans la partie interne des patchs résultants. Comme pour la construction des bases précédentes, les coefficients définissant les différentes fonctions sont obtenus par une technique d'extraction et d'insertion de nœuds. Les constructions précédentes sont ensuite utilisées pour résoudre deux problèmes pratiques : la conversion de modèles CAD en objets splines lisses et la résolution de l'équation des eaux peu profondes. La conversion est obtenue en ajustant un nuage de points représentant un modèle discrétisé de la géométrie CAD originale, tandis que l'équation des eaux peu profondes est résolue dans le cas de lacs peu profonds dont la forme est fidèlement approximée par un maillage quadratique planaire.Enfin, nous présentons la définition de trois opérateurs quasi-interpolants cubiques C^2 sur des triangulations arbitraires. Les quasi-interpolants sont générés localement par des fonctions de base spline simplex définies sur chaque triangle de la triangulation, qui est subdivisée selon la division de Wang-Shi. Les coefficients définissant les quasi-interpolants dans la base simplex sont calculés facilement en résolvant un problème d'Hermite, dont les données différentielles sont soit données en entrée, soit reconstruites en utilisant des polynômes cubiques locaux attachés aux différentes caractéristiques de la triangulation.

In this thesis we investigate novel spline constructions over unstructured meshes to be applied for modeling purposes, approximation problems and in the numerical resolution of partial differential equations.Being able to describe accurately a complex shape is not an easy task in geometric modeling, and it becomes even harder if we need the result to be suitable for numerical simulations. This is the challenge which motivated the topic of this work: explore new spline constructions that have potential to reproduce faithfully complicated geometries and, at the same time, are suitable to run isogeometric analysis experiments.First we present the derivation of a globally G^1 smooth family of surfaces, defined by smoothing masks, approximating the well-known Catmull-Clark subdivision surface scheme. The resulting surface is a collection of Bézier patches, which are biquintic and join with G^1 smoothness around extraordinary vertices and bicubic elsewhere. Each Bézier point is computed using a locally defined mask which ensures, by means of quadratic gluing data, G^1 regularity around extraordinary vertices of the corresponding patches.We continue with the description of a set of basis generating the space of biquintic G^1 spline over a quadrangular mesh. The basis is represented in terms of biquintic Bézierpolynomials on each quadrilateral face. Starting from the equation defining the G^1 relations between two patches, achieved by quadratic gluing data functions, we perform an extraction procedure in order to obtain the values of the control point defining the different bases.The latter bases, due to their definition, turn out not to be analysis-suitable. Driven by this, we investigate a new construction of G^1 spline basis functions with bidegree 5 suitable for isogeometric analysis simulations. The construction is made considering knot vectors composed of knots of multiplicity 5 and imposing C^1 regularity at the inner part of the resulting patches. Similarly to the previous bases construction, the coefficients defining the different functions are obtained by an extraction technique plus knot insertion.The previous constructions are then used to solve two practical problems: the conversion of CAD models into smooth spline objects and the resolution of the shallow-water equation. The conversion is performed by fitting a point cloud representing a discretized model of the original CAD geometry, while the shallow-water equation is solved in the case of shallow lakes whose shape is faithfully approximated by a planar quad mesh.Lastly, we present the definition of three cubic C^2 quasi-interpolant operators over arbitrary triangulations. The quasi-interpolants are locally generated by simplex spline basis functions defined on each triangle of the triangulation, which is subdivided according to the Wang-Shi split. The coefficients defining the quasi-interpolants in the simplex basis are computed easily by solving an Hermite problem, whose differential data is either given in input or reconstructed by using local cubic polynomials attached to the different features of the triangulation.