Espaces de produits tensoriels sur la catégorie dérivée d'une variété

Spaces of tensor products on the derived category of a variety

• Auteur / Autrice : Angel Israel Toledo Castro
• Direction : Carlos Simpson
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 05/01/2023
• Etablissement(s) : Université Côte d'Azur
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences fondamentales et appliquées (Nice ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire J.-A. Dieudonné (Nice)
• Jury : Président / Présidente : Sorin Dumitrescu
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Carlos Simpson, Sorin Dumitrescu, Bertrand Toën, Ivo Dell'Ambrogio, Mauro Porta
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Bertrand Toën, Ivo Dell'Ambrogio

Mots clés

Mots clés contrôlés

Fourier, Transformations de

Géométrie algébrique

Catégories (mathématiques)

Mots clés libres

Catégories dérivées

Géométrie algébrique dérivée non-commutative

Catégories tensorielles triangulées

Dg-catégories

Transformations de Fourier-Mukai

Derived categories

Noncommutative derived algebraic geometry

Tensor triangulated categories

Dg-categories

Fourier-Mukai transforms

Résumé

Dans cette thèse on est intéressé à l'étude des catégories dérivées d'une variété lisse et projective sur un corps. En particulier on étude l'information géométrique et catégorielle d'une variété et sa catégorie dérivée pour mieux comprendre l'ensemble de structures monoïdales qu'on peut munir à la catégorie dérivée. La motivation de ce projet s'inspire en deux théorèmes. L'un c'est le théorème de reconstruction de Bondal-Orlov qu'établisse que la catégorie dérivée d'une variété avec diviseur (anti-)canonique ample est assez pour récupérer la variété. D'un autre côté, on a la construction du spectrum de Balmer qu'utilise le produit tensoriel dérivé pour récupérer un nombre plus grand de variétés à partir de sa catégorie dérivée de complexes parfaits comme une catégorie monoïdale. L'existence de différentes structures monoïdales est par contre garanti par l'existence des variétés avec des catégories dérivées équivalentes. On a pour but alors comprendre quel est le rôle de les produits tensoriels dans l'existence (ou non existence) de ces types de variétés. Les résultats principaux qu'on a obtenu sont : Si X est une variété avec diviseur (anti-)canonique ample, et ⊠ est une structure de catégorie tensoriel triangulée sur Db(X) tel que le spectrum de Balmer Spc(Db(X),⊠) est isomorphe à X, alors pour tous F,G∈Db(X), on a F⊠G≃F⊗G où ⊗ c'est le produit tensoriel dérivée. On utilise le théorème de Morita pour les dg-catégories de Toën pour donner une caractérisation d'une structure tronquée en termes de bimodules sur un produit des dg-algèbres, qu'induisent une structure de catégorie tensoriel triangulée sur la catégorie homotopique. On a étudié la théorie de déformation de ces structures dans le sens de la cohomologie de Davydov-Yetter. On montre qu'il existe une correspondance entre un des groupes de cohomologie et l'ensemble de associateurs dont le produit tensoriel peut s'en déformer. On utilise des techniques à un niveau des catégories triangulées et aussi des perspectives de la théorie des catégories supérieurs comme des dg-catégories et quasi-catégories.

In this thesis we are interested in studying derived categories of smooth projective varieties over a field. Concretely, we study the geometric and categorical information from the variety and from it's derived category in order to understand the set of monoidal structures one can equip the derived category with. The motivation for this project comes from two theorems. The first is Bondal-Orlov reconstruction theorem which says that the derived category of a variety with ample (anti-)canonical bundle is enough to recover the variety. On the other hand, we have Balmer's spectrum construction which uses the derived tensor product to recover a much larger number of varieties from it's derived category of perfect complexes as a monoidal category. The existence of different monoidal structure is in turn guaranteed by the existence of varieties with equivalent derived categories. We have as a goal then to understand the role of the tensor products in the existence (or not ) of these sort of varieties. The main results we obtained are If X is a variety with ample (anti-)canonical bundle, and ⊠ is a tensor triangulated category on Db(X) such that the Balmer spectrum Spc(Db(X),⊠) is isomorphic to X, then for any F,G∈Db(X) we have F⊠G≃F⊗G where ⊗ is the derived tensor product. We have used Toën's Morita theorem for dg-categories to give a characterization of a truncated structure in terms of bimodules over a product of dg-algebras, which induces a tensor triangulated category at the level of homotopy categories. We studied the deformation theory of these structures in the sense of Davydov-Yetter cohomology, concretely showing that there is a relationship between one of these cohomology groups and the set of associators that the tensor product can deform into. We utilise techniques at the level of triangulated categories and also perspectives from higher category theory like dg-categories and quasi-categories.