Méthodes numériques pour la tomographie par impédance électrique dans le cadre de l’électrocardiographie

Numerical methods for Electrical Impedance Tomography to solve the electrocardiographic problem

• Auteur / Autrice : Niami Nasr
• Direction : Lisl Weynans
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées et calcul scientifique
• Date : Soutenance le 14/12/2023
• Etablissement(s) : Bordeaux
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques et informatique
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Bordeaux
• Jury : Président / Présidente : Astrid Decoene
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Juliette Leblond, Lorenzo Audibert, Yves Coudière, Annabelle Collin
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Marion Darbas, Philippe Moireau

Mots clés

Mots clés contrôlés

Impédance électrique

Méthodes des frontières immergées

Tomographie

Électrocardiographie

Mots clés libres

Tomographie par impédance électrique

Méthode de frontière immergée

Electrocardiographie

Electrical Impedance Tomography

Immersed BoundaryMethod

Electrocardiography

Résumé

La tomographie par impédance électrique (EIT) est une technique d’imagerie non invasive visant à reconstruire la distribution de conductivité électrique à l’intérieur d’un domaine en appliquant des courants électriques au bord du domaine à des électrodes et en mesurant les tensions résultantes. Mathématiquement, le problème, connu sous le nom de problème de Calderón ou problème inverse de conductivité, est un problème inverse fortement mal posé. L’inconnue principale de ce problème inverse est la conductivité, mais des manques d’information pour d’autres variables telles que la forme géométrique du domaine dans lequel nous visons à reconstruire la conductivité, ainsi que les positions des électrodes, peuvent influencer la qualité de la reconstruction. Par conséquent, nous considérons le problème EIT avec une géométrie inconnue mobile. La résolution d’un tel problème peut être coûteuse en terme de calcul, en particulier lors de l’utilisation de méthodes numériques qui nécessitent un maillage adapté à cause des étapes de remaillage. Pour éviter celles-ci, nous proposons une approche par méthode de frontière immergée (IBM) pour la résolution numérique du modèle d’électrode complet en tomographie par impédance électrique. Cette méthode permet l’utilisation d’un maillage cartésien sans nécessiter une discrétisation précise de la frontière, ce qui s’avère utile dans les situations où la frontière est complexe et/ou changeante. Nous démontrons la convergence de notre méthode et en illustrons l’efficacité dans des problèmes directs et inverses en deux dimensions. L’utilisation de méthodes de frontière immergée pour résoudre le problème direct permet également une parallélisation aisée de laméthode et le développement d’un code parallèle dédié au problème direct. Il est à noter que ce travail s’inscrit dans le contexte de l’imagerie électrocardiographique (ECGi). Pour l’ECGi, l’inconnue principale est l’activité électrique du coeur. L’objectif à long terme est d’évaluer si l’EIT peut fournir plus d’informations sur la conductivité des organes à l’intérieur du volume du torse. Dans cette thèse, notre méthode a été testée sur unmodèle de torse très simplifié pour la reconstruction de la conductivité. D’autres tests ont été réalisés pour évaluer notre méthode en utilisant des données réelles issues demesures sur des cuves.

Electrical Impedance Tomography (EIT) is a non-invasive imaging technique that aims to reconstruct the electrical conductivity distribution inside a domain by applying electrical currents to the boundary of this domain and measuring the resulting voltages on the same boundary. It has several applications in themedical field, particularly in lung monitoring and stroke detection.Mathematically, the problem, known as Calderón’s problem or the inverse conductivity problem, is a severely ill-posed inverse problem. The primary unknown in this inverse problem is the conductivity, but lack of information in other variables such as the geometrical shape of the domain inwhichwe aim to reconstruct conductivity, as well as electrode positions, can affect the quality of the reconstruction. Therefore, we consider the EIT problem with a mobile unknown geometry. The resolution of such a problem can be computationally expensive, especially when using numerical methods that demand adapted meshing. To avoid the remeshing step we propose an Immersed BoundaryMethod (IBM) approach for the numerical resolution of the Complete ElectrodeModel in Electrical Impedance Tomography. This method allows for the use of a Cartesian mesh without the need for precise discretization of the boundary,making it useful in situations where the boundary is complex and/or changing.We prove the convergence of ourmethod and demonstrate its efficiency in two-dimensional direct and inverse problems. Utilizing immersed boundary methods for solving the direct problemalso allows for a straightforward parallelization of the method and the development of a parallel code dedicated to the direct problem. It’s worth noting that this work is in the context of electrocardiographic imaging (ECGi). In ECGi the main unknown is the electrical activity of the heart. In the long run, the primary objective is to assess whether EIT can provide more information on the conductivity of organs within the torso volume. In this thesis, our method was tested against a very simplified torso model to reconstruct conductivity. Further tests were conducted to evaluate our method using real data fromtank measurements.