Problèmes inverses de potentiel et applications à l'éléctromagnétique quasi-statique

Inverse potential problems, with applications to quasi-static electromagnetics

• Auteur / Autrice : Masimba Nemaire
• Direction : Stanislav Kupin, Juliette Leblond
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques Pures
• Date : Soutenance le 28/03/2023
• Etablissement(s) : Bordeaux
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques et informatique (Talence, Gironde ; 1991-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Bordeaux - FACTAS
• Jury : Président / Présidente : Marion Darbas
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Philippe Jaming
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Christian Gerhards, Emmanuel Russ

Mots clés

Mots clés contrôlés

Helmholtz, Équation d'

Maxwell, Équations de

Analyse harmonique (mathématiques)

Mots clés libres

Analyse harmonique

Équation de Poisson-Laplace

Problème inverse du potentiel

Inverse potential problem

Poisson-Laplace equation

Harmonic analysis

Résumé

Les problèmes de potentiels inverses imprègnent de nombreuses branches des sciences et de l'ingénierie, en particulier en imagerie non destructive, leur étude est donc importante pour leur avancement. Les problèmes inverses que nous étudions dans la thèses ont régis par l'approximation quasi-statique des équations de Maxwell.Dans la première partie de cette thèse, nous nous intéressons à la caractérisation de sources silencieuses pour des domaines homogènes connexes avec de faibles conditions de régularité.La caractérisation que nous donnons repose sur la décomposition de Helmholtz. Pour les domaines Lipschitz réguliers, on montre que les sources silencieuses ont une décomposition de Helmholtz. Pour ces domaines, des sources équivalentes minimisant la norme sont caractérisées, ce qui conduit à une décomposition des champs de vecteurs équivalente à la décomposition de Helmholtz lorsque cette dernière existe. Pour les domaines lisses simple-ment connexes, un algorithme de minimisation alternée pour calculer la source équivalente de minimale norme à toute source donnée est présenté, dont l'implémentation numérique est faisable.La problématique de l'imagerie cérébrale fonctionnelle et clinique via les problèmes inverses de l'électroencéphalographie (EEG), de la stéréo-EEG (sEEG) et de la magnétoencéphalographie(MEG) sur un modèle de tête non homogène avec des géométries réalistes est étudiée dans la deuxième partie de la thèse. Chacun de ces problèmes inverses est couplé au problème inverse de transmission. Le couplage du problème inverse de localisation de source inverse avec le problème inverse de transmission rend également relativement simple le couplage de modalités, c'est-à-dire la combinaison de données EEG, sEEG et/ou MEG lors de la résolution de problèmes inverses. Pour chaque problème inverse résultant, un problème de Tikhonov régularisé est résolu avec le régularisateur conçu pour exploiter les éléments structurels dans ces problèmes. Pour cela, un algorithme de minimisation alternée est utilisé pour résoudre le problème de Tikhonov en alternant entre le problème d'identification de source et le problème de transmission de potentiel électrique pour la source identifiée.Dans la dernière partie de la thèse nous étudions les spectres des opérateurs de Toeplitz.Il est bien connu que pour les problèmes de point fixe, la vitesse de convergence des méthodes itératives est gouvernée par les rayons spectraux des opérateurs impliqués. De plus, la rapidité avec laquelle la méthode itérative atteint ce vitesse de convergence est régie par les résolvantes des opérateurs. Les méthodes itératives nécessitent généralement moins de mémoire que les méthodes directes. L'étude des spectres des opérateurs dans les problèmes de point fixe est donc primordiale pour la mise en œuvre de méthodes itératives. Nous avons montré que sous certaines conditions les spectres des opérateurs Hardy-Toeplitz (HT) et des opérateurs Bergman-Toeplitz (BT) sont les mêmes. Les opérateurs HT et BT sont utiles dans l'étude des problèmes potentiels inverses dans le plan.

Inverse potential problems permeate many branches of science and engineering especially in non-destructive imaging hence their study is important to the advancement of science and engineering. The inverse problems we study in the thesis are governed by the quasi-static approximation of Maxwell's equations. In the first part of this thesis we look at characterising silent sources for connected ho- mogeneous domains with mild smoothness conditions. The characterisation we give relies on the Helmholtz decomposition. For Lipschitz domains it is shown that silent sources have a Helmholtz decomposition and norm-minimising equivalent sources are characterised which leads to a decomposition of vector-fields that is equivalent to the Helmholtz decomposition when the the latter exists. For smooth simply connected domains an alternating minimisa- tion algorithm for computing the norm-minimising equivalent source of any given source is presented whose numerical implementation is feasible. The problem of functional and clinical brain imaging via the inverse problems of elec- troencephalography (EEG), stereo-EEG (sEEG) and magnetoencephalography (MEG) on non-homogeneous head model with realistic geometries is studied in the second part of the thesis. Each of these inverse problems is coupled with the inverse cortical mapping problem. The coupling of the inverse source localisation problem with the inverse cortical mapping prob- lem makes it relatively straight forward to also couple modalities, that is, combining EEG, sEEG and/or MEG data when solving inverse problems. For each resulting inverse problems, a regularised Tikhonov problem is solved with the regulariser designed to exploit structural elements in the problems. To fully exploit this information an alternating minimisation algo- rithm is used to solve the Tikhonov problem by alternating between the source identification problem and the electrical potential transmission problem for the identified source. In the last part of the thesis we study the spectra of Toeplitz operators. When solving fied point problems is well known that the rates of convergence of iterative methods are governed by the spectral radii of the operators involved. Further it is also known that how quickly the iterative method settles to these convergence rates is governed by the resolvents of the operators. Iterative methods typically have less memory requirement compared to direct methods. Hence a study the of spectra of the operators in the fixed point problems is paramount to the implementation of iterative methods. We showed that the under certain conditions the essential spectra of Hardy-Toeplitz (HT) operators and Bergman-Toeplitz (BT) operators coincide. Both HT and BT operators are useful in the study of inverse potential problems on the plane.