Discrétisation lagrangienne de problèmes variationnels dans des espaces de Wasserstein

Lagrangian discretization of variational problems in Wasserstein spaces

• Auteur / Autrice : Clément Sarrazin
• Direction : Quentin Mérigot, Filippo Santambrogio
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques aux interfaces
• Date : Soutenance le 04/01/2022
• Etablissement(s) : université Paris-Saclay
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....) - Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....)
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Groupe de travail sur les Equations aux dérivées partielles non linéaires et systèmes dynamiques (1985 ; Orsay, Essonne)
• Partenaire(s) de recherche : référent : Faculté des sciences d'Orsay
• Partenaire(s) de recherche : graduate school : Université Paris-Saclay. Graduate School Mathématiques (2020-....)
• Jury : Président / Présidente : Yann Brenier
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jérémie Bigot, David Bourne, Irène Waldspurger
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Jérémie Bigot, David Bourne

Mots clés

Mots clés contrôlés

Problèmes extrémaux (mathématiques)

Principes variationnels

Points critiques, Théorie des (analyse mathématique)

Calcul des variations

Transport optimal de mesure

Mots clés libres

Lagrangien

Quantification optimale de mesures

Jeux à champ moyen

Variationnel

Mean field games

Optimal quantization of measures

Variationnal

Lagrangian

Résumé

Dans ce mémoire, nous étudions la discrétisation de problèmes variationnels, au moyen de méthodes du transport optimal semi-discret. Bien que les techniques simplifient grandement la résolution de ces problèmes elles introduisent également des termes non-convexes dans des problèmes qui étaient convexes avant discrétisation. Le modèle principalement étudié est celui d’une foule se déplaçant de façon à minimiser une énergie globale qu’elle accumule durant son mouvement. Cette évolution est modelée par un problème de jeu à champ moyen variationnel, pour la minimisation d’une énergie comprenant un terme qui pénalise la présence de zones de congestions. Nous approchons les solutions par les trajectoires d’un nombre fini d’individus, cependant ces foules discrètes ne sont pas admissible pour le problème de jeu à champ moyen, à cause justement du terme de congestion. Pour définir un problème similaire pour notre foule discrète, nous remplaçons le terme problématique par une régularisation de type Moreau-Yosida. Notre résultat principal affirme alors la convergence des minimiseurs du problème discret vers une solution du problème de jeu à champ moyen initial. Cependant, cette convergence est conditionnelle à un choix approprié de paramètres de régularisation et sa détermination est encore une question ouverte. Cela n’empêche pas la résolution du problème discret pour des choix arbitraires de ces paramètres, laquelle génère des trajectoires cohérentes avec le comportement imposé par le problème de jeu à champ moyen correspondant. La régularisation du terme de congestion, définie par une enveloppe de Moreau pour la distance de Wasserstein 2 introduit donc une non-convexité dans le problème discrétisé, et l’on est en droit de craindre d’aboutir à des situations critiques non-minimisantes en le résolvant numériquement. Afin de mieux comprendre ces dangers, nous avons étudié la structure de ces situations critiques pour le problème non convexe, plus simple mais néanmoins proche, de quantification optimale uniforme d’une mesure. Bien que nous ayons réussi à clarifier la forme de ces points critiques et en particulier le devenir de la discrétisation lorsque le nombre de particules croit à l’infini, la classification complète de ces configurations possibles demeure largement inachevée.

In this thesis, we study the discretization of variational problems, via semi-discrete optimal transport methods. Although these techniques yield much simpler expressions for their solutions, they also introduce non-convex terms in what were convex problems before discretization. The main model is that of a crowd, which minimizes a global energy accumulated during its motion. This evolution is modeled by a variational mean field game problem, which energy features a term penalizing highly congested area. We approximate the solutions using the trajectories of a finite set of particles, however, such finite crowds are not admissible for this problem, due to the congestion term. In order to circumvent this issue,we consider a similar energy, however one where the congestion is penalized by a regularized version of the previous term. Our main result is then the convergence of these discrete minimizers towards a solution of the mean field game problem. However this statement requires the selection of an appropriate sequence of regularization parameters, which cannot be determined just yet. This is only partially an impediment, as the discretization used is very robust, and even for relatively large values of these parameters, the numerical experiments showcase a satisfying behavior regarding the modeled phenomenon. The regularization of the congestion term is defined as a Moreau envelope, using the 2-Wasserstein distance. These expressions introduce a non-convexity in the discretized problem which could make numerically computing their solutions difficult. In order to better understand these issues, we gather insightful information regarding the structure of critical points for the simpler but related non-convex problem of uniform optimal quantization. These critical configurations and in particular, their limits as measures when the discretization becomes more and more precise, remain a vastly unexplored part of theseoptimization problems.