Approche bayésienne en restauration d'images avec des a-prioris Plug & Play

Bayesian computation with Plug & Play priors for inverse problems in imaging sciences

• Auteur / Autrice : Rémi Laumont
• Direction : Andrés Almansa, Julie Delon
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 30/11/2022
• Etablissement(s) : Université Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : MAP5 - Mathématiques Appliquées à Paris 5
• Jury : Président / Présidente : Pierre Chainais
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Pierre Chainais, Gabriele Steidl, Pierre Weiss, Emilie Chouzenoux
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Gabriele Steidl, Pierre Weiss

Mots clés

Mots clés contrôlés

Statistique bayésienne

Monte-Carlo, Méthode de

Markov, Processus de

Langevin, Équation de

Problèmes inverses

Mots clés libres

Problèmes inverses

Méthodes Plug & Play

Algorithmes de Langevin

Chaîne de Markov

Méthodes de Monte-Carlo

Descente de gradient stochastique

Débruitage

Défloutage

Interpolation

Inverse problems

Plug & Play methods

Langevin algorithms

Markov chain

Monte-Carlo methods

Stochastic gradient descent

Denoising

Deblurring

Interpolation

Résumé

Ce manuscrit de thèse est consacré à l'étude des méthodes Plug & Play appliquées à des problèmes inverses rencontrés en restauration d'images. Depuis les travaux de Venkatakrishnan et al. en 2013, les méthodes Plug & Play (PnP) sont souvent appliquées pour la restauration d'image dans un contexte Bayésien. Ces méthodes visent à calculer les estimateurs Minimum Mean Square Error (MMSE) ou Maximum A Posteriori (MAP) pour des problèmes inverses en imagerie en combinant une vraisemblance explicite et un a-priori implicite défini par un algorithme de débruitage. Dans la littérature, les méthodes PnP diffèrent principalement par le schéma itératif utilisé que cela soit pour l'optimisation ou l'échantillonnage. Dans le cas des algorithmes d'optimisation, des travaux récents garantissent la convergence vers un point fixe d'un certain opérateur, point fixe qui n'est pas nécessairement le MAP. Dans le cas des algorithmes d'échantillonnage de la littérature, il n'existe pas de preuves de convergence. Par ailleurs, il reste d'importantes questions ouvertes portant sur la bonne définition des modèles Bayésiens sous-jacents ou encore des estimateurs calculés, ainsi que leurs propriétés de régularité, nécessaires pour assurer la stabilité du schéma numérique. Le but de cette thèse est de développer des méthodes de restauration simples mais efficaces tout en répondant à ces interrogations. L'existence et la nature des estimateurs MAP et MMSE pour des a-prioris PnP constitue donc un premier axe d'étude. Deux méthodes avec des résultats de convergence sont alors présentées, PnP-SGD pour l'estimation du MAP et PnP-ULA pour l'échantillonnage. Un intérêt particulier est porté aux débruiteurs encodés par des réseaux de neurones profonds. L'efficacité de ces méthodes est démontrée sur des problèmes classiques de restauration d'image tels le débruitage, le défloutage ou l'interpolation. En plus de permettre l'estimation du MMSE, l'échantillonnage rend possible la quantification d'incertitudes, ce qui est crucial dans des domaines tels que l'imagerie biomédicale. Enfin, l'influence du débruiteur sur l'a-posteriori estimée est questionnée et une comparaison entre les probabilités données par notre modèle et les probabilités fréquentistes provenant d'un grand nombre d'expériences est faite.

This thesis manuscript is devoted to the study of Plug & Play methods applied to inverse problems encountered in image restoration. Since the work of Venkatakrishnan et al. in 2013, Plug & Play (PnP) methods are often applied for image restoration in a Bayesian context. These methods aim at computing Minimum Mean Square Error (MMSE) or Maximum A Posteriori (MAP) for inverse problems in imaging by combining an explicit likelihood and an implicit a-priori defined by a denoising algorithm. In the literature, PnP methods differ mainly in the iterative scheme used for both optimization and sampling. In the case of optimization algorithms, recent works guarantee the convergence to a fixed point of a certain operator, fixed point which is not necessarily the MAP. In the case of sampling algorithms in the literature, there is no evidence of convergence. Moreover, there are still important open questions concerning the correct definition of the underlying Bayesian models or the computed estimators, as well as their regularity properties, necessary to ensure the stability of the numerical scheme. The aim of this thesis is to develop simple but efficient restoration methods while answering some of these questions. The existence and nature of MAP and MMSE estimators for PnP a-priori is therefore a first line of study. Three methods with convergence results are then presented, PnP-SGD for MAP estimation and PnP-ULA and PPnP-ULA for sampling. A particular interest is given to denoisers encoded by deep neural networks. The efficiency of these methods is demonstrated on classical image restoration problems such as denoising, deblurring or interpolation. In addition to allowing the estimation of MMSE, sampling makes possible the quantification of uncertainties, which is crucial in domains such as biomedical imaging. Lastly, the influence of the denoiser on the posterior is investigated and a comparison between the Bayesian probabilities reported by the model and the frequentist probabilities arising from a large number of repetitions of an experiment is drawn.