Problèmes de limites hydrodynamiques

Hydrodynamic limits problems

• Auteur / Autrice : Pierre Gervais
• Direction : Isabelle Gallagher, Isabelle Tristani
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 15/12/2022
• Etablissement(s) : Université Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : École normale supérieure (Paris ; 1985-....). Département de mathématiques et applications (1998-....)
• Jury : Président / Présidente : Marjolaine Puel
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Isabelle Gallagher, Isabelle Tristani, Marjolaine Puel, Antoine Mellet, Thierry Goudon, Cyril Imbert, Laurent Desvillettes, Bertrand Lods
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Antoine Mellet, Thierry Goudon

Mots clés

Mots clés contrôlés

Boltzmann, Ludwig (1844-1906)

Hydrodynamique

Interactions à longue portée

Valeurs propres

Théorie spectrale (mathématiques)

Navier-Stokes, Équations de

Mots clés libres

Boltzmann

Navier-Stokes

Limite hydrodynamique

Analyse asymptotique

Théorie spectrale

Perturbation de valeurs propres

Décroissance polynomiale

Théorie d'élargissement

Singularité angulaire

Interactions longue portée

Boltzmann

Navier-Stokes

Hydrodynamic limits

Asymptotic analysis

Spectral theory

Perturbation of eigenvalues

Polynomial decay

Enlargement theory

Angular singularity

Long range interactions

Résumé

L'équation de Boltzmann, introduite par J.C. Maxwell et L. Boltzmann à la fin du XIXème siècle décrit l'évolution d'un gaz au niveau moléculaire à l'aide d'un point de vue statistique. Plus précisément, au lieu de considérer la position et la vitesse exactes de chacune des particule constituant le gaz, on s'intéresse à leurs répartitions statistiques pour une particule typique (on parle de point de vue mésoscopique ou cinétique). En 1900, D. Hilbert présenta à l'occasion du Congrès international des mathématiciens une liste de 23 problèmes, le sixième s'intitulant "Problème d'axiomatisation de la physique". Dans le cas de la mécanique des fluides, il consiste en la dérivation des équations hydrodynamiques (point de vue macroscopique) à partir des équations cinétiques (point de vue mésoscopique), qui doivent elles-même être dérivées des équations de Newton appliquées à l'ensemble des particules constituant le gaz (point de vue microscopique). Il s'avère qu'une solution de Boltzmann proche d'un équilibre spatialement homogène se comporte comme la somme de celui-ci et d'une perturbation dont la dynamique est dictée par les équations de Navier-Stokes. Ce fait a été démontré rigoureusement entre les années 1990 et 2000 dans une série d'articles par C. Bardos, F. Golse, D. Levermore et L. Saint-Raymond. Cependant les outils utilisés nécessitaient que la donnée initiale pour l'équation de Boltzmann décroisse comme une gaussienne par rapport à la variable de vitesse, ce qui est très loin des hypothèses physiquement pertinentes d'avoir une décroissance polynomiale d'ordre 2 (masse et énergie finie). Les travaux de C. Mouhot, M.P. Gualdani et S. Mischler entre 2005 et 2017 ont développé une "théorie d'élargissement (d'espaces fonctionnels)" permettant de construire des solutions pour l'équation de Boltzmann pour des données initiales avec une décroissance polynomiale. Les deux premiers travaux de cette thèse traitent de la dérivations des équations de Navier-Stokes depuis l'équation de Boltzmann pour de telles données initiales. La dernière partie de cette thèse, en collaboration avec K. Carrapatoso, ne concerne pas la dérivation des équations de Navier-Stokes, mais l'existence de solutions pour l'équation de Boltzmann, toujours pour des données initiales ayant une décroissance polynomiale, et sans négliger la "singularité angulaire" présente dans l'opérateur de collisions. En effet, une des principales difficultés mathématiques de l'équation de Boltzmann provient des interactions entre paires de particules "éloignées". Considérées individuellement, elles n'influent que peu sur les vitesses des particules, mais sont extrêmement nombreuses, ce qui se traduit par la présence de la "singularité angulaire" dans l'opérateur modélisant leur effet. Cette difficulté est responsable de la très lente évolution de la théorie mathématique de l'équation de Boltzmann. C'est en 1963 que H. Grad proposa une façon de négliger cette singularité, menant à une progression rapide de notre compréhension de cette équation. Cette singularité angulaire n'est cependant pas anodine, elle procure entre autre un effet régularisant à l'équation, et a été étudiée dans de nombreux travaux à partir des années 1990.

The Boltzmann equation, introduced by J.C. Maxwell and L. Boltzmann at the end of the 19th century, describes the evolution of a gas at the molecular level using a statistical point of view. More precisely, instead of considering the exact position and velocity of each of the particles making up the gas, we are interested in their statistical distributions for a typical particle (we speak of a mesoscopic or kinetic point of view). In 1900, D. Hilbert presented on the occasion of the International Congress of Mathematicians a list of 23 problems, the sixth being the "Problem of axiomatization of physics". In the case of fluid mechanics, it consists in the derivation of hydrodynamic equations (macroscopic point of view) from kinetic equations (mesoscopic point of view), which must themselves be derived from Newton's equations applied to all the particles making up the gas (microscopic point of view). It turns out that a Boltzmann solution close to a spatially homogeneous equilibrium behaves like the sum of this equilibrium and a perturbation whose dynamics are dictated by the Navier-Stokes equations. This fact was rigorously demonstrated between the 1990s and 2000s in a series of articles by C. Bardos, F. Golse, D. Levermore and L. Saint-Raymond. However, the tools used in these works required that the initial datum for the Boltzmann equation decreased like a Gaussian with respect to the velocity variable, which is very far from the physically relevant assumptions of having a polynomial decay of order 2 (finite mass and energy). The works of C. Mouhot, M.P. Gualdani and S. Mischler between 2005 and 2017 developed an "enlargement theory (of functional spaces)" allowing to build solutions for the Boltzmann equation for initial data having a polynomial decay. The first two works of this thesis deal with the derivation of the Navier-Stokes equations from the Boltzmann equation for such initial data. The last part of this thesis, in collaboration with K. Carrapatoso, is not concerned with the derivation of the Navier-Stokes equations, but the existence of solutions for the Boltzmann equation, still for initial data having polynomial decay, and without neglecting the "angular singularity" present in the collision operator. Indeed, one of the main mathematical difficulties of the Boltzmann equation comes from the interactions between pairs of "distant" particles. Considered individually, they have little influence on the velocities of the particles, but are extremely frequent, which results in the presence of the "angular singularity" in the operator modeling their effect. This difficulty is responsible for the very slow evolution of the mathematical theory of the Boltzmann equation. In 1963, H. Grad proposed a way to neglect this singularity, leading to a rapid progress in our understanding of this equation. This angular singularity is however not insignificant, it provides among other things a regularizing effect to the equation, and has been studied in many works since the 1990s.