Transports parallèles, Flows de Newton, et Q-processus de Wiener sur l’espace de Wasserstein

Parallel translations, Newton flows and Q-Wiener processes on the Wasserstein space

• Auteur / Autrice : Hao Ding
• Direction : Shizan Fang, Xiangdong Li
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 28/06/2022
• Etablissement(s) : Bourgogne Franche-Comté en cotutelle avec Academy of mathematics and Systems Science, CAS, Beijing
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Carnot-Pasteur (Besançon ; Dijon ; 2012-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de Mathématiques de Bourgogne (IMB) (Dijon)
• Partenaire(s) de recherche : Etablissement de préparation : Université de Bourgogne (1970-2024)
• Jury : Président / Présidente : José-Luis Jaramillo
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Zhao Dong
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Fengyu Wang, Nicolas Juillet

Mots clés

Mots clés contrôlés

Newton, Méthode de

Distances de Wasserstein

Mots clés libres

Transport optimal

Distance de Wasserstein

Transport parallèle

Méthode de Newton

Transport parallèle stochastique

Équation de Dean-Kawasaki

Optimal transport

Wasserstein distance

Parallel translation

Newton's method

Stochastic parallel translation

Dean-Kawasaki equation

Résumé

- Nous allons étendre la définition de la connexion de Levi-Civita de Lott à l’espace de Wasserstein des mesures de probabilité ayant densité et divergence. Un champ de vecteurs le long d’une courbe absolument continue est étendu sur tout espace de tel sorte que les transports parallèles puissent être définis comme en géométrie différentielle. Nous allons démontrer l’existence des transports parallèles au sens fort de Lott pour le cas du tore.- Nous allons démontrer l’existence et l’unicité de l’équation de Newton sur l’espace de Wasserstein et mettre en évidence la relation entre le flot de Newton relaxé et l’équation de Keller-Segel.- Nous allons établir un formalisme intrinsèque pour le calcul stochastique d’Itô sur l’espace de Wasserstein à travers les trois fonctionnelles typiques. Nous allons construire la forme faible et la forme forte de l’équation différentielle partielle stochastique définissant le transport parallèle, dont l’existence et l’unicité est démontrée dans le cas du tore. Des processus de diffusion non-dégénérée sont construits en utilisant les fonctions propres du laplacian.- Nous allons construire une nouvelle approche du système d’interaction de particules aux solutions du problème de martingale pour l’équation de Dean-Kawasaki sur le tore sous une condition plus faible portant sur l’intensité de corrélation spatiale.

- We extend the definition of Lott’s Levi-Civita connection to the Wasserstein space of probability measures having density and divergence. We give an extension of a vector field defined along an absolutely curve onto the whole space so that parallel translations can be introduced as done in differential geometry. In the case of torus, we prove the well-posedness of Lott’s equation for parallel translations.- We prove the well-posedness of the Newton flow equation on the Wasserstein space and show the connections between the relaxed Newton flow equation and the Keller-Segel equation.- We establish an intrinsic formalism for Itô stochastic calculus on the Wasserstein space throughout three kinds of functionals. We construct the weak and strong form of stochastic partial differential equations for stochastic parallel translations, the well-posedness is also proved in the case of torus. Non-degenerated diffusion process are constructed using the eigenfunctions of the Laplacian.- We construct a new interactive particle model approximation to the solution to the regularized martingale problem of the diffusive Dean-Kawasaki equation on the one-dimensional torus under a weaker condition on the spatial correlation intensity of the noise than the classical one.