Quelques aspects de l'arithmétique des corps de fonctions en lien avec les modules de Drinfeld

Some aspects of the arithmetic of functions fields related to Drinfeld Modules

• Auteur / Autrice : Mohamed El Kati
• Direction : Hassan Oukhaba
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 19/09/2022
• Etablissement(s) : Bourgogne Franche-Comté
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Carnot-Pasteur (Besançon ; Dijon ; 2012-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques de Besançon (Besançon) - Laboratoire de Mathématiques de Besançon / LMB
• Partenaire(s) de recherche : Etablissement de préparation : Université de Franche-Comté (1971-....)
• Jury : Président / Présidente : Abbas Movahhedi
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Cécile Armana
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Jilali Assim, Abdelmejid Bayad

Mots clés

Mots clés contrôlés

Drinfeld, Modules de

Mots clés libres

Modules de Carlitz

Corps de fonctions

Points de torsion

Groupe de Galois

Carlitz modules

Function field

Torsion points

Drinfeld modules

Galois group

Résumé

Le but de cette thèse est l’étude de trois aspects concernant l’arithmétique des corps de fonctions en lien avec les modules de Drinfeld.Dans la première partie, nous travaillons au-dessus d’un corps de fonctions rationnelles Fq(T). Nous introduisons et nous étudions la notion de polynômes définissant des unités sur les racines de translatés de polynômes de Carlitz.Dans la seconde partie nous continuons de travailler au-dessus d’un corps de fonctions rationnelles Fq(T). Nous proposons un analogue des polynômes de Laguerre classiques. Nous montrons, entre autres, que le groupe de Galois du n-ième polynôme sur Fq(T) est le groupe général linéaire GLn(Fq).Dans la dernière partie nous considérons le contexte suivant. Soit k/Fq un corps global defonctions algébriques. Soit ∞ une place de k. Soit A l’anneau des éléments de k réguliers en dehors de ∞. Soit ρ un A-module de Drinfeld de rang 1 et normalisé par rapport à une fonction signe fixée. Soit H*A le corps normalisant deρ . Soit B la clôture intégrale de A dans H*A. Soit m un idéal de A . Nous étudions alors la structure du B-module engendré par les points de m-torsion du module de Drinfeld ρ , ainsi que son rang.

The aim of this thesis is the study of three aspects concerning the arithmetic of functions fields related to the Drinfeld modules.In the first part, we work over a rational functions field Fq(T). We introduce and study the notion of polynomials defining units on the roots of translates of Carlitz polynomials.In the second part we continue to work over a rational function field Fq(T). We propose an analogue of the classical Laguerre polynomials. We show, among other things, that the Galois group of the n-th polynomial over Fq(T) is the general linear group GLn(Fq(T)).In the last part we considered the following context. Let k=Fq be a global algebraic function field. Let ∞ be a place of k. Let A be the ring of elements of k regular outside ∞. Let ρ a Drinfeld A-module of rank one and sgn-normalized with respect to a fixed sign function. Let H*A be the normalizing field of ρ with respect to sgn. Let B be the integral closure of A in H*A. Let m be an ideal of A. We focused on the study of the structure of the B-module generated by the m-torsion points of the Drinfeld module ρ, as well as its rank.