Solutions normalisées pour des équations de Schrödinger Sobolev critique Normalized solutions for Sobolev critical Schrödinger equations : existence, multiplicité et stabilité

Normalized solutions for Sobolev critical Schrödinger equations : existence, multiplicity and stability issues

• Auteur / Autrice : Thanh Trung Le
• Direction : Louis Jeanjean
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 13/10/2022
• Etablissement(s) : Bourgogne Franche-Comté
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Carnot-Pasteur (Besançon ; Dijon ; 2012-....)
• Partenaire(s) de recherche : Etablissement de préparation : Université de Franche-Comté (1971-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques de Besançon (Besançon)
• Jury : Président / Présidente : Colette De Coster
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Stefan Le Coz, Alberto Farina
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Frédéric Robert, Gianmaria Verzini

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations différentielles elliptiques

Équations aux dérivées partielles -- Solutions numériques

Équations aux dérivées partielles

Analyse fonctionnelle non linéaire

Mots clés libres

Edp

Analyse non linéaire

Problèmes elliptiques

Equations de Schrödinger-Poisson-Slater

Exposant critique de Sobolev

Masse prescrite

Solution normalisée

Multiplicité de solutions

Etat fondamental

Stabilité orbitale

Instabilité forte par blow-up

Minimiseur local ou global

Point selle au niveau du col

Méthodes variationnelles

Identité de type Pohozaev

Pde

Nonlinear Analysis

Elliptic problems

Nonlinear Schrödinger equation

Schr¨odinger-Poisson-Slater equation

Sobolev critical exponent

Prescribed mass

Normalized solution

Multiplicity of solutions

Ground states

Orbital stability

Strong instability by blow-up

Local or global minimizer

Saddle point lying at mountain pass level

Variational methods

Pohozaev type identity

Résumé

Dans cette thèse, nous considérons deux types d'équations de Schrödinger non linéaires (NLS), à savoir une classe d'équations de Schrödinger non linéaire avec une non linéarité de type mixed powers sur R^N et une classe d'équations non linéaires de Schrödinger-Poisson-Slater sur R^3. Ces deux types de NLS apparaissent dans divers modèles mathématiques et physiques et ont attiré beaucoup d’attention ces dernières années. Du point de vue physique, puisque, en plus d’être une quantité conservée pour l’équation de l’évolution, la masse a souvent une signification physique claire; par exemple, elle représente l’alimentation électrique en optique non linéaire, ou le nombre total d’atomes dans la condensation de Bose-Einstein, etc., nous nous concentrons sur l’étude des solutions ayant une masse prescrite, à savoir les solutions normalisées. Des questions d’existence, de multiplicité et de stabilité de ces solutions sont examinées dans cette thèse. Nous nous occupons à la fois de cas sous-critiques de Sobolev et de cas critiques de Sobolev. Une attention particulière est accordée aux cas critiques de Sobolev dans lesquels de nombreux problèmes restent ouverts. Puisque les solutions normalisées sont obtenues comme points critiques, sous contrainte, d’une fonctionnelle, les principaux ingrédients de nos preuves sont variationelles. La thèse se compose de quatre chapitres. Le Chapitre 1 est une introduction à cette thèse contenant une brève présentation des questions traitées et des résultats obtenus. Dans le Chapitre 2, nous étudions une classe d'équations non linéaires de Schrödinger sur R^N avec une nonlinéarité mixte Sobolev critique. Dans une situation où la fonctionnelle associée est non bornée inférieurement sur la contrainte, nous prouvons l’existence de deux points critiques sur la contrainte, un minimiseur local, et un point de selle se trouvant au niveau d'un col de montagne. Nous montrons également que les ondes stationnaires associées à l'ensemble des miminiseurs locaux sont orbitalement stables et que celles associées aux point selles situés au niveau du col sont fortement instables. La principale difficulté est la présence de l’exposant critique de Sobolev. En ce qui concerne les minimiseurs locaux, il n’est pas possible d’utiliser de manière standard le principe de concentration par compacité développé par P. L. Lions. Par ailleurs même en ayant obtenu la compacité de l'ensemble des suites minimisantes, l’existence globale du problème d'évolution associée reste à montrer pour établir la stabilité orbitale. En ce qui concerne le point de selle, nous avons besoin d’une estimation stricte sur le niveau du col associé et celle-ci est obtenue en utilisant des fonctions de test. Dans le Chapitre 3 nous étudions une classe d’équations de Schrödinger-Poisson-Slater sur R^3. Nous considérons plusieurs classes de paramètres, certains impliquant que la fonctionnelle sera non bornée inférieurement sur la contrainte. Dans le cas où la structure géométrique des fonctionnelles associées suggère l’existence de minima locaux ou globaux, nous développons un argument pour traiter simultanément les cas sous-critiques de Sobolev et les cas critiques de Sobolev. Dans le cas où la structure géométrique des fonctionnelles associées suggère l’existence d’un point de selle, nous avons besoin de deux arguments distincts pour traiter les cas Sobolev sub-critique et Sobolev critique. Enfin, au Chapitre 4, nous présentons quelques remarques finales sur les deux équations examinées dans cette thèse et aussi nous proposons quelques problèmes ouverts.

In this thesis, we consider two types of nonlinear Schrödinger equations (NLS), namely a class of nonlinear Schrödinger equations with mixed power nonlinearities in R^N and a class of Schrödinger-Poisson-Slater equations in R^3. These two types of NLS arise in various mathematical and physical models and have drawn wide attention in recent years.From the physical point of view, since, in addition to being a conserved quantity for the evolution equation, the mass often has a clear physical meaning; for instance, it represents the power supply in nonlinear optics, or the total number of atoms in Bose-Einstein condensation, etc, we focus on studying solutions having prescribed mass, namely normalized solutions. The existence, multiplicity, and stability issues of such solutions are considered in this thesis. We deal with both Sobolev sub-critical and Sobolev critical cases. Particular attention is paid to Sobolev critical cases in which many open problems remain. Since normalized solutions are found as critical points of an associated functional on a constraint, the main ingredients of our proofs are variational methods.The thesis consists of four chapters. Chapter 1 is an introduction to this thesis containing a brief presentation of issues treated and obtained results. In Chapter 2, we study Sobolev critical nonlinear Schrödinger equations with mixed power nonlinearities in R^N. In a situation where the associated functional is unbounded from below on the constraint, we prove the existence of two constrained critical points, one local minimizer, and one saddle point lying at a mountain pass level. We also show that the standing waves associated with the local minimizer are orbitally stable and the associated standing waves corresponding with saddle points lying at mountain pass levels are strongly unstable. The main difficulty is the presence of the Sobolev critical exponent. Concerning the local minimizer, it is not possible to use in a standard way the compactness by concentration approach developed by P. L. Lions. Even having the compactness, the global existence in evolution is still unknown. For the existence of the saddle point, we need a strict upper estimate of the associated mountain pass level that we derive using testing functions.In Chapter 3, we study Schrödinger-Poisson-Slater equations in R^3. We deal with some range of parameters under which the associated functional restricted on the constraint will sometimes be bounded, sometimes be unbounded. In the case where the geometric structure of the associated functional suggests the existence of local minima or global minima, we develop an argument to deal with both Sobolev sub-critical and Sobolev critical cases. In the case where the geometric structure of the associated functional suggests the existence of a saddle point, we need two different arguments to deal with Sobolev sub-critical and Sobolev critical cases. Finally, in Chapter 4, we present some concluding remarks about the two equations considered in this thesis and also we propose some open problems.