Thèse soutenue

Théorie locale et comportement en long temps des solutions des équations de Schrödinger non linéaires
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Auteur / Autrice : Van tin Phan
Direction : Stefan Le Coz
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques et Applications
Date : Soutenance le 16/05/2022
Etablissement(s) : Toulouse 3
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, informatique et télécommunications (Toulouse)
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Toulouse (2007-....)
Jury : Président / Présidente : Mihai Maris
Examinateurs / Examinatrices : David Lafontaine, Simona Rota Nodari, Philippe Gravejat
Rapporteurs / Rapporteuses : Jacek Jendrej, Dmitry Pelinovsky

Mots clés

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Résumé

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Notre recherche principale est d'étudier les équations de Schrödinger non linéaires, en particulier les équations de Schrödinger non linéaires dérivées. Notre premier objectif est de répondre aux questions sur l'existence et l'unicité des solutions, de considérer si le temps d'existence est fini ou infini et de vérifier si les solutions dépendent continuellement des données initiales ou non. Lorsque des solutions existent, nous étudions le comportement des solutions à des temps grands, en répondant à des questions sur la stabilité et l'instabilité des solitons/ondes stationnaires algébriques/ondes périodiques, l'existence de solutions d'explosion, l'existence de trains multi-solitons, et l'existence de trains multi kink-solitons. Le problème de Cauchy des équations de Schrödinger non linéaires dérivées a été traité plusieurs fois dans l'espace de Sobolev H^1(R). Le premier objectif principal est d'établir une théorie locale avec des conditions aux limites non nulles. Nous utilisons une méthode de transformation de jauge pour transférer l'équation d'origine dans un système sans termes dérivés. En étudiant le problème de Cauchy de ce système, on obtient les résultats pour l'équation originale. Ensuite, nous considérons l'équation de Schrodinger non linéaire avec des non-linéarités dérivées dans le cas d'une demi-droite avec une condition aux limites de Robin. Nous prouvons l'existence de solutions d'explosion. De plus, nous prouvons que l'équation admet des solutions particulières appelées ondes stationnaires. Cette solution est un minimiseur d'un problème variationnel. Nous prouvons la stabilité et l'instabilité de ce type de solution en fonction du signe du paramètre de condition de Robin donné. Ensuite, nous étudions la théorie multi solitons des équations de Schrödinger non linéaires dérivées. L'existence de ce type de solution montre qu'il existe une solution globale avec un nombre arbitraire de données initiales. La méthode utilisée pour les équations de Schrödinger non linéaires classiques ne peut pas s'appliquer dans ce cas aux non linéarités dérivées. Nous profitons de la transformation de jauge pour surmonter cette difficulté. Enfin, nous considérons l'équation de Schrödinger non linéaire à puissance triple. Notre objectif est de prouver l'instabilité des ondes stationnaires algébriques, c'est-à-dire les ondes stationnaires de fréquence nulle. Notre motivation vient des travaux de Liu-Tsai-Zwiers où les auteurs ont donné une image de la stabilité et de l'instabilité des ondes stationnaires de triple puissance NLS en une dimension et des travaux de Fukaya-Hayashi où les auteurs ont démontré l'instabilité des ondes algébriques ondes dans le cas d'un NLS à double puissance.