A study of the spherical Hecke category via derived algebraic geometry

Une étude de la catégorie sphérique de Hecke via la géometrie algébrique dérivée

• Auteur / Autrice : Guglielmo Nocera
• Direction : Carlo Gasbarri, Angelo Vistoli
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 08/07/2022
• Etablissement(s) : Strasbourg en cotutelle avec Scuola normale superiore (Pise, Italie)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, sciences de l'information et de l'ingénieur (Strasbourg ; 1997-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de recherche mathématique avancée (Strasbourg)
• Jury : Président / Présidente : Roman Bezrukavnikov
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Pierre Baumann, Andrea Maffei, Gabriele Vezzosi, Mauro Porta
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Roman Bezrukavnikov, Yonatan Harpaz

Mots clés

Mots clés contrôlés

Géométrie algébrique

Mots clés libres

Programme Géométrique de Langlands

Grassmannienne affine

Faisceau constructible

Stratification de Whitney

Algèbre d'Azumaya

Gerbe

Geometric Langlands Program

Affine Grassmannian

Constructible sheaf

Whitney stratification

Azumaya algebra

Gerbe

Résumé

Mon projet de thèse se situe à l'interface de la géométrie algébrique, de la topologie et de la théorie des représentations. Je me suis concentré sur l'utilisation d'outils de la théorie de l'homotopie, en particulier la géométrie algébrique dérivée et la théorie des infini-catégories, pour fournir des généralisations significatives des résultats classiques établis dans le Programme Géométrique de Langlands. Dans le premier chapitre, j'ai prouvé que, sous certaines conjectures, l'infini-categorie Sph(G) associé à un groupe reductif G admet une E_3- structure monoïdale étendant le produit de convolution monoïdale symétrique des faisceaux pervers. Dans le deuxième chapitre, j'ai prouvé avec Marco Volpe une conjecture de Ayala, Francis et Rozenblyum disant que tout espace stratifié satisfaisant les conditions de Whitney admet une structure coniquement lisse. Dans le troisième chapitre, j'ai prouvé avec Michele Pernice une conjecture de Federico Binda et Mauro Porta établissant une rélation entre la notion de Gm-gerbe et de algèbre de Azumaya derivée.

My thesis project lies at the interface of algebraic geometry, topology and representation theory. I focused on using tools from homotopy theory, and particularly derived algebraic geometry and infinity-category theory, to provide significant generalizations of classical results in the area of the Geometric Langlands Program. In the first chapter, I proved that under certain conjectures the infinity-category Sph(G) associated to a reductive group G admits an E3-monoidal structure extending the symmetric monoidal convolution product of perverse sheaves. In the second chapter, I proved with Marco Volpe a conjecture of Ayala, Francis and Rozenblyum saying that every stratified space satisfying Whitney's conditions admits a conically smooth structure. In the third chapter, I proved with Michele Pernice a conjecture by Federico Binda and Mauro Porta establishing a relationship between the notions of Gm-gerbe and derived Azumaya algebra.