La mesure de Mahler d’une famille de polynômes exacts

The Mahler measure of a family of exact polynomials

• Auteur / Autrice : Mahya Mehrabdollahei
• Direction : Fabrice Rouillier, Antonin Guilloux
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 06/07/2022
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Fabien Mehdi Pazuki
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : François Brunault, Marie-José Bertin
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Fabien Mehdi Pazuki, Matilde Lalín

Mots clés

Mots clés contrôlés

Dirichlet, Intégrales de

Polynômes

Mots clés libres

Mesure de Mahler

Polynôme

Polynôme exact

Polynôme régulier

Dilogarithme de Bloch-Wigner

Développement asymptotique

Fonctions L de Dirichlet

Caractère de Dirichlet

Mahler measure

Polynomial

Exact polynomial

Regular polynomial

Bloch–Wigner dilogarithm

Asymptotic expansion

Dirichlet L-functions

Dirichlet characters

Résumé

Dans cette thèse, nous étudions la suite de mesures de Mahler d’une famille de polynômes à deux variables exacts et réguliers, que nous notons Pd := P0≤i+j≤d xiyj . Elle n’est bornée ni en volume, ni en genre de la courbe algébrique sous-jacente. Nous obtenons une expression pour la mesure de Mahler de Pd comme somme finie de valeurs spéciales du dilogarithme de Bloch-Wigner. Nous utilisons SageMath pour approximer m(Pd) pour 1 ≤ d ≤ 1000. En recourant à trois méthodes différentes, nous prouvons que la limite de la suite de mesures de Mahler de cette famille converge vers 92π2 ζ(3). De plus, nous calculons le développement asymptotique de la mesure de Mahler de Pd et prouvons que sa vitesse de convergence est de O(log dd2 ). Nous démontrons également une généralisation du théorème de Boyd-Lawton, affirmant que les mesures de Mahler multivariées peuvent être approximéess en utilisant les mesures de Mahler de dimension inférieure. Enfin, nous prouvons que la mesure de Mahler de Pd pour d arbitraire peut être écrite comme une combinaison linéaire de fonctions L associées à un caractère de Dirichlet primitif impair. Nous calculons finalement explicitement la représentation de la mesure de Mahler de Pd en termes de fonctions L, pour 1 ≤ d ≤ 6.

In this thesis we investigate the sequence of Mahler measures of a family of bivariate regular exact polynomials, called Pd := P0≤i+j≤d xiyj , unbounded in both degree and the genus of the algebraic curve. We obtain a closed formula for the Mahler measure of Pd in termsof special values of the Bloch–Wigner dilogarithm. We approximate m(Pd), for 1 ≤ d ≤ 1000,with arbitrary precision using SageMath. Using 3 different methods we prove that the limitof the sequence of the Mahler measure of this family converges to 92π2 ζ(3). Moreover, we compute the asymptotic expansion of the Mahler measure of Pd which implies that the rate of the convergence is O(log dd2 ). We also prove a generalization of the theorem of the Boyd-Lawton which asserts that the multivariate Mahler measures can be approximated using the lower dimensional Mahler measures. Finally, we prove that the Mahler measure of Pd, for arbitrary d can be written as a linear combination of L-functions associated with an odd primitive Dirichlet character. In addition, we compute explicitly the representation of the Mahler measure of Pd in terms of L-functions, for 1 ≤ d ≤ 6.