La conjecture de Smith en faible régularité

The Smith conjecture in low regularity

• Auteur / Autrice : Lucien Grillet
• Direction : Juan Souto Clément
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
• Date : Soutenance le 01/12/2022
• Etablissement(s) : Rennes 1
• Ecole(s) doctorale(s) : MATHSTIC
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de recherche mathématique (Rennes ; 1996-....)
• Jury : Président / Présidente : Françoise Dal'Bo
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Laurent Bessières
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Louis Funar, Frédéric Le Roux

Mots clés

Mots clés contrôlés

Variétés topologiques à 3 dimensions

Homéomorphismes

Mots clés libres

Topologie et géométrie en petites dimensions

3-Variétés

Homéomorphismes sauvages

Conjecture de Smith

Low-Dimensional geometry and topology

3-Manifolds

Wild homeomorphisms

Smith conjecture

Résumé

En 1939, Paul Althaus Smith démontra que l'ensemble des points fixes d'une application continue d'ordre fini de la 3-sphère dans elle-même était homéomorphe à une sphère de dimension inférieure. Ses résultats ne renseignent cependant pas sur la nature du plongement de cet ensemble de point fixes. En 1952, R. H. Bing donna un exemple d'une involution continue de la 3-sphère dont l'ensemble des points fixes est homéomorphe à une 2-sphère plongée de manière "sauvage". Suite aux travaux de nombreux mathématiciens tels que John Morgan, Hyman Bass, William Thurston et Grigori Perelman, nous savons aujourd'hui que, s'il s'agit d'une application lisse, une telle application d'ordre fini est nécessairement conjuguée à une isométrie. Dans une série de conférences données en 2013 à Santa Barbara, Michael Freedman conjectura que cette dernière affirmation devrait également être vérifiée pour des applications de régularité intermédiaire telles que des applications lipschitziennes. Nous démontrons qu'une application lipschitzienne d'ordre fini d'une 3-variété et de constante de constante de Lipschitz proche de 1 est nécessairement conjuguée à une application lisse, répondant partiellement à la question de Michael Freedman.

In 1939, Paul Althaus Smith proved that the fixed set of a continuous self-map of finite order of the 3-sphere was homeomorphic to a lower dimensional sphere. However, his results do not give any information about the nature of the embedding of this fixed set. In 1952, R. H. Bing gave an example of a continuous involution of the 3-sphere whose fixed set is homeomorphic to a "wild" embedding of the 2-sphere. Following the work of many mathematicians such as John Morgan, Hyman Bass, William Thurston, and Grigori Perelman, we know that, if such a finite order map is smooth, it is necessarily conjugate to an isometry. In a series of lectures given in 2013 in Santa Barbara, Michael Freedman conjectured that this property should also be verified for maps of intermediate regularity such as Lipschitz maps. We show that a Lipschitz map of finite order of a 3-manifold and of Lipschitz constant close to 1 is necessarily conjugate to a smooth map, partially answering Michael Freedman's question.