Thèse soutenue

Calcul incrémental des groupes d'homologie d'un objet au cours d'un processus de construction
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Auteur / Autrice : Wassim Rharbaoui
Direction : Pascal LienhardtSamuel PeltierSylvie Alayrangues
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Informatique
Date : Soutenance le 21/01/2022
Etablissement(s) : Poitiers
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences et Ingénierie des Systèmes, Mathématiques, Informatique (Limoges ; 2018-2022)
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : XLIM - XLIM / XLIM
faculte : Université de Poitiers. UFR des sciences fondamentales et appliquées
Jury : Président / Présidente : Dominique Bechmann
Examinateurs / Examinatrices : Pascal Lienhardt, Samuel Peltier, Sylvie Alayrangues
Rapporteurs / Rapporteuses : Alexandra Bac, Steve Oudot

Résumé

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En modélisation géométrique à base topologique, les objets manipulés sont subdivisés en cellules de différentes dimensions (sommets, arêtes, faces, volumes. . .). Dans ce cadre, le calcul d’invariants topologiques (orientabilité, contractilité, caractéristique d’Euler. . .) permet de caractériser la structure de ces objets. En particulier, l’homologie est un invariant topologique usuellement étudié, permettant intuitivement de caractériser les trous d’un objet en toute dimension (composantes connexes en dimension 0, tunnels en dimension 1, cavités en dimension 2 etc. . .).Classiquement, le calcul de l’homologie d’un objet nécessite d’étudier les relations d’incidence de toutes ses cellules. Dans cette thèse, on s’intéresse au calcul incrémental des variations de l’homologie d’un objet évoluant dans un processus de construction. Pour cela, nous utilisons des résultats de l’homologie effective [1], et plus particulièrement le théorème des suites exactes courtes effectives (théorème SECE). Le passage d’une étape de construction à l’autre se fait par application d’une opération locale consistant à fusionner des cellules (identification), ou, à l’inverse, à les scinder (désidentification). Le théorème SECE est utilisé pour maintenir une équivalence homologique au fil des étapes. Cette dernière associe l’objet à un plus petit objet de "même" homologie. À chaque étape, l’homologie peut être calculée à partir du petit objet, ce qui est plus efficace que de la calculer à partir de l’objet lui-même.Dans ce contexte, nous proposons une analyse du coût des calculs mis en jeu par le théorème SECE. Il en résulte que, pour calculer les rangs des groupes d’homologie à chaque étape, la complexité en temps du maintien de l’équivalence homologique dépend seulement du nombre de cellules impactées par l’opération (et de leur étoile), et la complexité en espace croît en fonction du nombre de cellules impactées par l’opération. Pour garantir ces complexités en pratique, nous distinguons plusieurs prérequis qu’une implémentation doit respecter. Nous proposons une structure de données vérifiant ces prérequis. Elle inclut des informations pour suivre l’évolution des cellules d’une structure topologique au fil du processus de construction, c’est-à-dire le fait que des cellules puissent mourir ou être créées à chaque étape. En fonction de ces évolutions, elle est utilisée pour mettre à jour les éléments maintenus au fil du processus et utilisés dans le théorème SECE, comme par exemple des matrices de bord de complexes de chaînes.Ensuite, nous nous intéressons aux cas où l’objet est trop volumineux pour être manipulé par une seule unité de calcul. Nous proposons un algorithme permettant de calculer l’homologie d’un objet distribué évoluant dans un processus de construction composé uniquement d’identifications. L’objet est manipulé implicitement au travers de sa distribution et d’une identificationpermettant de le reconstruire à partir de sa distribution. À chaque étape, ces données sont mises à jour afin de permettre le calcul de l’homologie de l’étape suivante sans avoir à reconstruire l’objet.Enfin, nous mettons en évidence un cadre commun à l’homologie effective et à l’homologie persistante. En particulier, nous nous intéressons aux travaux concernant les tours, des séquences de complexes simpliciaux reliés entre eux par des applications simpliciales [2].[1] Julio Rubio and Francis Sergeraert. Constructive homological algebra and applications.Technical report, Universidad de la Rioja, Université Grenoble Alpes, 2006[2] Tamal K Dey, Fengtao Fan, and Yusu Wang. Computing topological persistence forsimplicial maps. In Proceedings of the thirtieth annual symposium on Computational geometry,pages 345–354, 2014