Systèmes algébriques matriciels et applicatiοn à la cryptanalyse de DAGS

Matrix Algebraic Systems and Application to DAGS Cryptanalysis

• Auteur / Autrice : Manon Bertin
• Direction : Ayoub Otmani, Magali Turrel Bardet
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 13/12/2022
• Etablissement(s) : Normandie
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale mathématiques, information et ingénierie des systèmes (Caen)
• Partenaire(s) de recherche : établissement co-accrédité : Université de Rouen Normandie (1966-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire d'informatique, de traitement de l'information et des systèmes (Saint-Etienne du Rouvray, Seine-Maritime ; 2006-...)
• Jury : Président / Présidente : Olivier Blazy
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Philippe Gaborit, Jean-Pierre Tillich, Alain Couvreur, Delphine Boucher
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Philippe Gaborit, Jean-Pierre Tillich

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations polynomiales

Gröbner, Bases de

Cryptographie

Cryptographie post-quantique

Mots clés libres

Cryptographie post-quantique

Cryptographie basée sur les codes

Attaque algébrique

Problème MinRank

Cryptosystème DAGS

Bases de Gröbner

Post-quantum cryptography

Code-based cryptography

Algebraic attack

MinRank problem

DAGS cryptosystem

Gröbner bases

Résumé

Le National Institute of Standards and Technology (NIST) a lancé en 2017 un Appel à Soumissions pour trouver des algorithmes candidats pour sécuriser les données contre les ordinateurs quantiques. Le candidat DAGS est un mécanisme d’encapsulation de clé basée sur les codes de Srivastava quasi-dyadiques. En 2018, une attaque algébrique a été publiée, permet de retrouver une partie du secret du cryptosystème. Après étude de cette modélisation, nous avons essayé de l’améliorer de différentes façons. Nous avons d’abord modifié le système donné en entrée de l’agorithme de bases de Gröbner, ce qui nous a permis de raccourcir le temps de l’attaque ainsi que d’être efficace contre un ensemble de paramètres qui n’avait pas encore été cassé. Nous avons pu noter à ce moment que le calcul des bases de Gröbner n’avait pas le même comportement que pour un système générique : les chutes de degrés sont plus nombreuses. En comparant nos observations avec les récentes publications sur les systèmes modélisant le problème MinRank, nous avons remarqué qu’ils étaient similaires. Cela nous a permis d’avoir un modèle à suivre et des formules de base pour la complexité, tout en soulignant le fait que la structure du cryptosystème DAGS réduit cette même complexité. Nous avons continué les améliorations en considérant les mineurs comme de nouvelles variables, ce qui a pour avantage de réduire la taille des matrices utilisées, comme c’est le cas pour la modélisation SupportMinors. Grâce à cette dernière modification, il est possible de trouver une base de Gröbner en utilisant seulement de l’algèbre linéaire, donc la complexité est plus faible que celle d’un algorithme de calcul de bases de Gröbner.

The National Institute of Standards and Technology (NIST) launched a Call for Submissions in 2017 to find suitable algorithm candidates to be secure against quantum computers. Among the candidates was DAGS, an key encapsulation mechanism based on quasi-dyadic General Srivastava codes. In 2018 this scheme was attacked using an algebraic system, whose solving allows to find parts of the secret. We studied the modelisation that was done for this attack, and improved it in multiple ways. First, we can modify the input in order to shorten the time taken for the system solving, which also allowed us to be successful against a set of parameters that was unbroken before. Concurrently, the Gröbner basis computation was not behaving as it would for a generic system, showing more degree falls than what was expected. By comparing it to developments in the MinRank problem modelisation, we noticed that they were similar, giving us a model to follow for the methods to use and formulas linked to complexity. It appeared that the structure of DAGS was reducing the complexity of solving the modelisation system, and we went further to get even better results. We transformed our system by considering the minors as new variables, making the matrices involved smaller, like it is in the SupportMinors model. This implies that we just use linear algebra on the Macaulay matrix, which complexity is much smaller than a Grobner basis computation algorithm.