Couplage par décomposition de domaine optimisée de formulations intégrales et éléments finis d’ordre élevé pour l’électromagnétisme

Coupling by optimized domain decomposition of integral and high-order finite element formulations for electromagnetism

• Auteur / Autrice : Ismaïl Badia
• Direction : Xavier Antoine, Christophe Geuzaine
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 23/05/2022
• Etablissement(s) : Université de Lorraine en cotutelle avec Université de Liège
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale IAEM Lorraine - Informatique, Automatique, Électronique - Électrotechnique, Mathématiques de Lorraine
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Élie Cartan de Lorraine (1997-.... ; Vandoeuvre-lès-Nancy, Metz)
• Jury : Président / Présidente : Benoît Vanderheyden
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Xavier Antoine, Christophe Geuzaine, Marion Darbas, Victorita Dolean, Jean-Paul Martinaud, Séraphin Mbduayoueyou Mefire
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Marion Darbas, Victorita Dolean

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations intégrales -- Solutions numériques

Éléments finis, Méthode des

Décomposition de domaines (mathématiques)

Modèles mathématiques

Ondes -- Diffraction

Analyse harmonique (mathématiques)

Maxwell, Équations de

Mots clés libres

Équations de Maxwell

Diffraction en régime harmonique

Méthode de décomposition de domaine optimisée

Éléments finis d’ordre élevé

Équations intégrales surfaciques

Maxwell’s equations

Time-Harmonic scattering

Optimized domain decomposition method

High-Order finite element methods

Surface integral equations

Résumé

La résolution numérique d’un problème de diffraction électromagnétique tridimensionnel en régime harmonique est connue pour être difficile, notamment en haute fréquence et pour des objets diffractants diélectriques et inhomogènes. En effet, elle nécessite de discrétiser un système d’équations aux dérivées partielles posé sur un domaine infini. De plus, le fait de considérer une petite longueur d’onde λ dans ce cas, nécessite naturellement un maillage très fin, ce qui conduit par conséquent à un très grand nombre de degrés de liberté. Une approche standard consiste à combiner une méthode d’équations intégrales pour le domaine extérieur et une formulation variationnelle volumique pour le domaine intérieur (objet diffractant), conduisant à une formulation couplant la méthode des éléments de frontière (BEM) et la méthode des éléments finis (FEM). Bien que naturelle, cette approche présente quelques inconvénients majeurs. Tout d’abord, cette méthode de couplage mène à un système linéaire de très grande taille caractérisé par une matrice composée à la fois de parties creuses et denses. Un tel système est généralement difficile à résoudre et n’est pas directement adapté aux méthodes de compression. Ajouté à cela, il n’est pas possible de combiner facilement deux solveurs pré-existants, à savoir un solveur FEM pour le domaine intérieur et un solveur BEM pour le domaine extérieur, afin de construire un solveur global du problème original. Dans cette thèse, nous présentons un couplage faible bien conditionné entre la méthode des éléments de frontière et celle des éléments finis d’ordre élevé, permettant une simple construction d’un tel solveur. L’approche est basée sur l’utilisation d’une méthode de décomposition de domaine sans recouvrement impliquant des opérateurs de transmission optimaux. Ces derniers sont construits par le biais d’un processus de localisation basé sur des approximations rationnelles complexes de Padé des opérateurs Magnetic-to-Electric non locaux. Le nombre d’itérations nécessaires à la résolution du couplage faible ne dépend que faiblement de la configuration géométrique, de la fréquence, du contraste entre les sous-domaines et du raffinement de maillage.

In terms of computational methods, solving three-dimensional time-harmonic electromagnetic scattering problems is known to be a challenging task, most particularly in the high frequency regime and for dielectric and inhomogeneous scatterers. Indeed, it requires to discretize a system of partial differential equations set in an unbounded domain. In addition, considering a small wavelength λ in this case, naturally requires very fine meshes, and therefore leads to very large number of degrees of freedom. A standard approach consists in combining integral equations for the exterior domain and a weak formulation for the interior domain (the scatterer) resulting in a formulation coupling the Boundary Element Method (BEM) and the Finite Element Method (FEM). Although natural, this approach has some major drawbacks. First, this standard coupling method yields a very large system having a matrix with sparse and dense blocks, which is therefore generally hard to solve and not directly adapted to compression methods. Moreover, it is not possible to easily combine two pre-existing solvers, one FEM solver for the interior domain and one BEM solver for the exterior domain, to construct a global solver for the original problem. In this thesis, we present a well-conditioned weak coupling formulation between the boundary element method and the high-order finite element method, allowing the construction of such a solver. The approach is based on the use of a non-overlapping domain decomposition method involving optimal transmission operators. The associated transmission conditions are constructed through a localization process based on complex rational Padé approximants of the nonlocal Magnetic-to-Electric operators. The number of iterations required to solve this weak coupling is only slightly dependent on the geometry configuration, the frequency, the contrast between the subdomains and the mesh refinement.