Étude d'équations aux dérivées partielles dirigées par une perturbation stochastique

Study of partial differential equations driven by a stochastic term

• Auteur / Autrice : Nicolas Schaeffer
• Direction : Laurent Thomann, Aurélien Deya
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 13/06/2022
• Etablissement(s) : Université de Lorraine
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale IAEM Lorraine - Informatique, Automatique, Électronique - Électrotechnique, Mathématiques de Lorraine
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Élie Cartan de Lorraine (1997-.... ; Vandoeuvre-lès-Nancy, Metz)
• Jury : Président / Présidente : Nicolas Burq
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Laurent Thomann, Aurélien Deya, Anne-sophie De suzzoni, Paul Gassiat, David Dos Santos Ferreira
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Anne-sophie De suzzoni, Paul Gassiat

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations aux dérivées partielles

Bruit aléatoire, Théorie du

Schrödinger, Équation de

Équation de la chaleur

Mots clés libres

Équation de la chaleur

Équation de Schrödinger

Bruit fractionnaire

Bruit blanc

Renormalisation

Heat equation

Schrödinger equation

Fractional noise

White noise

Renormalization

Résumé

Le sujet de cette thèse porte sur l'étude de certaines équations aux dérivées partielles non linéaires et dirigées par une perturbation aléatoire. Au Chapitre 1, on définit la notion de bruit blanc et de bruit fractionnaire. On décrit ensuite la procédure générale permettant de prouver le caractère bien posé des modèles considérés. Après avoir présenté un état de l'art, on détaille et commente les différents résultats obtenus en insistant sur les nouveautés et en précisant les éventuelles perspectives. Au Chapitre 2, on présente les outils probabilistes dont on aura besoin tout au long de notre étude. On commence par définir le mouvement brownien fractionnaire. On rappelle ensuite les notions essentielles concernant l'intégrale de Wiener et l'intégration contre la transformée de Fourier d'un bruit blanc. On établit alors la formule de la représentation harmonisable du champ brownien fractionnaire qui sera un outil de calcul précieux. On énonce également les deux résultats phares relatifs à la régularité des termes aléatoires, à savoir le critère de Kolmogorov et l'inégalité de Garsia-Rodemich-Rumsey. Pour terminer, on définit les polynômes d'Hermite qui nous permettront de renormaliser nos équations et on développe la notion de Chaos de Wiener afin de bénéficier de la traditionnelle inégalité de contrôle des moments d'ordre "p". Au Chapitre 3, on étudie une équation de la chaleur stochastique (SNLH) avec une non-linéarité quadratique, perturbée par un bruit fractionnaire en temps et en espace. On distingue deux types de régimes, dépendant des valeurs prises par l'indice de Hurst "H=(H_0,...,H_d) in (0,1)^{d+1}". En particulier, on montre que le caractère localement bien posé de (SNLH), résultant de l'astuce de Da Prato et Debussche, est obtenu facilement quand "2H_0+sum_{i=1}^{d}H_i >d". Au contraire, (SNLH) est plus difficile à traiter quand "2H_0+sum_{i=1}^{d}H_i leq d". Dans ce cas, le modèle doit être interprété au sens de Wick, grâce à une renormalisation dépendant du temps. Aidé par l'effet régularisant du semi-groupe de la chaleur, on établit le caractère localement bien posé de (SNLH) en toute dimension "d geq 1". Au Chapitre 4, on étudie une équation de Schrödinger stochastique avec une non-linéarité quadratique et une perturbation fractionnaire en temps et en espace. Quand l'indice de Hurst est suffisamment grand, ce qui se traduit par l'inégalité "2H_0+sum_{i=1}^{d}H_i >d+1", on prouve le caractère localement bien posé du modèle en utilisant des arguments classiques. Cependant, quand l'indice de Hurst est petit, c'est-à-dire quand "2H_0+sum_{i=1}^{d}H_i leq d+1", même l'interprétation de l'équation a besoin d'un intérêt particulier. Dans ce cas, une procédure de renormalisation doit être mise en place, conduisant à une interprétation du modèle au sens de Wick. Notre argument de point fixe met alors en jeu des propriétés spécifiques de régularisation du groupe de Schrödinger qui nous permettent de traiter la forte irrégularité de la solution. Au Chapitre 5, on étudie une équation de Schrödinger stochastique (SNLS), avec une non-linéarité quadratique, perturbée par une dérivée fractionnaire en espace (d'ordre "-alpha<0") d'un bruit blanc espace-temps. Quand "alpha<frac{d}{2}", la convolution stochastique est une fonction du temps à valeurs dans un espace de Sobolev d'ordre négatif et le modèle doit être interprété au sens de Wick au moyen d'une renormalisation dépendant du temps. Quand "1 leq d leq 3", combinant les inégalités de Strichartz et un effet de régularisation local déterministe, on établit le caractère localement bien posé de (SNLS) pour une petite rangée de "alpha". On revisite ensuite nos arguments et on démontre un gain de régularité multilinéaire au niveau du terme stochastique d'ordre deux. Ceci nous permet d'améliorer notre résultat d'existence et d'unicité local pour certaines valeurs de "alpha".

The subject of this thesis is the study of some nonlinear partial differential equations driven by a stochastic perturbation. In Chapter 1, we define the notion of white noise and fractional noise. We then describe the general procedure to prove the local well-posedness of the models under consideration. After having presented a state of the art, we detail and comment the different results obtained, we insist on the novelties and we precise the possible perspectives. In Chapter 2, we present the stochastic tools we will need throughout our study. We start by defining the fractional Brownian motion. We then recall the essential notions concerning Wiener integral and the integration against the Fourier transform of a white noise. We also establish the harmonizable representation formula of the fractional Brownian motion that will be a precious tool when doing computations. We state the main results related to the regularity of stochastic terms, namely Kolmogorov's criterion and the Garsia-Rodemich-Rumsey inequality. To end with, we define Hermite polynomials that will allow us to renormalize our equations and we develop the notion of Wiener Chaoses in order to benefit from the classical inequality of control of moments of order "p". In Chapter 3, we study a stochastic nonlinear heat equation (SNLH) with a quadratic nonlinearity, forced by a fractional space-time white noise. Two types of regimes are exhibited, depending on the ranges of the Hurst index "H=(H_0,...,H_d) in (0,1)^{d+1}". In particular, we show that the local well-posedness of (SNLH) resulting from the Da Prato-Debussche trick, is easily obtained when "2H_0+sum_{i=1}^{d}H_i >d". On the contrary, (SNLH) is much more difficult to handle when "2H_0+sum_{i=1}^{d}H_i leq d". In this case, the model has to be interpreted in the Wick sense, thanks to a time-dependent renormalization. Helped with the regularising effect of the heat semigroup, we establish local well-posedness results for (SNLH) for all dimension "d geq 1". In Chapter 4, we study a stochastic Schr"{o}dinger equation with a quadratic nonlinearity and a space-time fractional perturbation. When the Hurst index is large enough, precisely when "2H_0+sum_{i=1}^{d}H_i >d+1", we prove local well-posedness of the problem using classical arguments. However, for a small Hurst index, that is when "2H_0+sum_{i=1}^{d}H_i leq d", even the interpretation of the equation needs some care. In this case, a renormalization procedure must come into the picture, leading to a Wick-type interpretation of the model. Our fixed-point argument then involves some specific regularization properties of the Schr"{o}dinger group, which allows us to cope with the strong irregularity of the solution. In Chapter 5, we study a stochastic quadratic nonlinear Schr"{o}dinger equation (SNLS), driven by a fractional derivative (of order "-alpha<0") of a space-time white noise. When "alpha < frac{d}{2}", the stochastic convolution is a function of time with values in a negative-order Sobolev space and the model has to be interpreted in the Wick sense by means of a time-dependent renormalization. When "1 leq d leq 3", combining both the Strichartz estimates and a deterministic local smoothing, we establish the local well-posedness of (SNLS) for a small range of "alpha". Then, we revisit our arguments and establish multilinear smoothing on the second order stochastic term. This allows us to improve our local well-posedness result for some "alpha".