Modélisations des écoulements fluviaux adaptées aux observations spatiales et assimilations de données altimétriques

River flow modelling adapted to space observations and altimetric data assimilation

• Auteur / Autrice : Thibault Malou
• Direction : Jérôme Monnier, Pierre-André Garambois
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et Applications
• Date : Soutenance le 07/03/2022
• Etablissement(s) : Toulouse, INSA
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, informatique et télécommunications
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Toulouse (2007-....) - Institut de Mathématiques de Toulouse UMR5219 / IMT
• Jury : Président / Présidente : Igor Gejadze
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jérôme Monnier, Pierre-André Garambois, Astrid Decoene, Laurent Debreu, Olivier Delestre, Eric Greiner, Adrien Paris
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Astrid Decoene, Laurent Debreu

Mots clés

Mots clés libres

Modélisation d'écoulement fluvial 1D

Lois algébriques équivalentes pour l'estimation du débit

Equations de l'onde diffusante double-Échelle

Données altimétriques

Assimilation variationnelle de données

Covariance de l'erreur d'ébauche

1D river flow modeling

Equivalent algebraic laws for the estimation of the discharge

Double-Scale diffusive wave equations

Altimetric data

Variationnal data assimilation

Background error covariance

Résumé

Ces travaux de thèse portent sur la modélisation des rivières adaptée à l'altimétrie spatiale, qui permet de mesurer la hauteur d'eau des rivières. Pour estimer le débit sur la base de ces données, les modèles mathématiques ont besoin d'être consistants avec l'échelle spatio-temporelle des observations (centaines de mètres et dizaines de jours) ainsi qu'une estimation de certaines grandeurs non-mesurées par ces satellites d'altimétrie, notamment la hauteur du fond et une paramétrisation physique (coefficient de friction).La difficulté de l'estimation du débit à partir des données altimétriques vient notamment de la pente de la surface libre, qui n'est pas non plus mesurée à une échelle assez fine.Une nouvelle méthodologie pour déterminer des lois algébriques locales d'estimation de débit (lois dites Stage-Fall-Discharge, SFD) à partir des données altimétriques issues de plusieurs satellites (e.g. Jason-3, Sentinel-3A et Sentinel-3B) est alors proposée. La méthode se base sur une modélisation hydrodynamique calibrée par assimilation des données altimétriques. Ces lois SFD sont déterminées de manière à reproduire le débit estimé par la modélisation hydrodynamique à partir de données altimétriques et de grandeurs hydrauliques simulées.Ces lois sont obtenues avec succès sur le réseau hydrographique complexe du Rio Negro-Rio Branco.La méthode devrait être applicable pour estimer le débit de manière opérationnelle.La modélisation adaptée aux observations spatiales nécessite donc de choisir des modèles cohérents avec les données disponibles et les échelles spatio-temporelles observées. De ce fait, l'équation de l'onde diffusante a l'avantage d'avoir comme variable d'état la hauteur d'eau de la rivière qui est directement mesurée contrairement au débit.Dans ces travaux, une double échelle spatio-temporelle est introduite pour prendre en compte l'échelle de la physique (petite échelle) et celle des observations (grande échelle). Les variations de la largeur sont négligeables à l'échelle de la physique, ce qui n'est pas le cas à l'échelle des observations. Une équation de l'onde diffusante adaptée à l'échelle des observations spatiales est établie. Cette nouvelle équation de l'onde diffusante prend en compte les variations de la largeur grâce à deux termes additionnels par rapport à l'équation classique.Une étude numérique met en avant que l'équation à l'échelle des observations estime avec une meilleure précision la pente de la surface libre et donc le débit par rapport à l'équation classique. Un des termes additionnels de l'équation à l'échelle des observations est aussi mis en avant grâce à une quantification de l'importance des termes d'un dictionnaire basée sur une régression parcimonieuse.Pour obtenir une estimation de la hauteur du fond et du coefficient de friction (non-observés par les satellites d'altimétrie), les données altimétriques sont assimilées dans les modèles hydrodynamiques en minimisant une fonction coût basée sur l'écart entre la hauteur modélisée et la hauteur mesurée. La qualité de cette assimilation de données dépend notamment de l'estimation de la covariance de l'erreur d'ébauche, i.e. erreur entre la valeur d'ébauche et la vraie valeur du paramètre, qui préconditionne la hessienne de la fonction coût. Cependant, cette covariance est couramment définie de manière empirique.Ainsi, ces travaux proposent une méthode pour estimer la covariance de l'erreur d'ébauche et la longueur de corrélation à partir des équations de la physique (équations de l'onde diffusante dans le cas présent) en utilisant les noyaux de Green.Ces nouveaux opérateurs ainsi que la longueur de corrélation consistante avec la physique couplée avec un noyau exponentiel décroissant donnent de meilleurs résultats que les opérateurs empiriques.

This PhD work focuses on river modelling adapted to spatial altimetry, which allows the measurement of the height of water in rivers. In order to estimate the discharge using these data, the mathematical models need to be consistent with the spatio-temporal scale of the observations (hundreds of metres and tens of days) and an estimate of some quantities not measured by these altimetry satellites, notably the bottom elevation and a physical parametrization (friction coefficient).The difficulty in estimating the discharge from altimetric data comes in particular from the slope of the free surface, which is also not measured at a fine enough scale.A new methodology to determine local and algebraic discharge estimation laws (Stage-Fall-Discharge laws, SFD) from altimetry data from several satellites (e.g. Jason-3, Sentinel-3A and Sentinel-3B) is proposed. The method is based on a hydrodynamic model calibrated by assimilation of altimetry data. These SFD laws are determined to reproduce the discharge estimated by the hydrodynamic model from noisy altimetry data and physically consistent simulated hydraulic quantities.These laws are successfully obtained on the complex hydrographic network of the Rio Negro-Rio Branco.The method should be applicable for operational estimation of discharge.Modelling adapted to spatial observations therefore requires choosing models that are coherent with the available data and with the observed spatio-temporal scales. As a result, the diffusive wave equation has the advantage of having the water height as state variable, which is directly measured in contrast to the discharge.In this work, a double spatio-temporal scale is introduced to take into account the scale of physics (small scale) and the scale of observations (large scale). The width variations are negligible on the scale of physics, which is not the case on the scale of observations. A diffusive wave equation adapted to the scale of satellite observations is derived. This new diffusive wave equation takes into account width variations through two additional terms compared to the classical equation.A numerical study shows that the observation-scale equation estimates the slope of the free surface and thus the discharge with better accuracy than the classical equation. One of the additional terms in the observation-scale equation is also highlighted by quantifying the importance of the terms of a dictionary based on sparse regression.In order to obtain an estimate of the bottom elevation and the friction coefficient (non-observed by the altimetry satellites), altimetric data are assimilated into the hydrodynamic models by minimising the gap between the modelled height and the measured height. The quality of this data assimilation depends in particular on the estimation of the covariance of the background error, i.e. the error between the background value and the true value of the parameter, that preconditiones the Hessian of the cost function. However, this covariance is usually defined in an empirical manner.Thus, this work proposes a method for estimating the covariance of the background error and the correlation length from the equations governing the physics (here the diffusive wave equations) using the Green kernels.These new operators and the physically consistent correlation length coupled with a decreasing exponential kernel give better results than the empirical operators.