Méthodes numériques pour les problèmes de complémentarité et les problèmes de contrôle optimal sous contraintes de complémentarité

Numerical methods for complementarity problems, and optimal control problems under complementarity constraints

• Auteur / Autrice : El Hassene Osmani
• Direction : Mounir Haddou, Naceurdine Bensalem
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs Interactions
• Date : Soutenance le 24/10/2022
• Etablissement(s) : Rennes, INSA
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et sciences et technologies de l'information et de la communication (Rennes)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de recherche mathématique (Rennes ; 1996-....) - Institut de recherche mathématique (Rennes ; 1996-....)
• Jury : Président / Présidente : Bachir Merikhi
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Mounir Haddou, Naceurdine Bensalem, Bachir Merikhi, Didier Aussel, Hoai An Lê Thi, Zakia Kebbiche, Carine Lucas, Aude Rondepierre
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Didier Aussel, Hoai An Lê Thi

Mots clés

Mots clés contrôlés

Commande, Théorie de la

Newton, Méthode de

Points intérieurs, Méthodes des

Problèmes de la complémentarité linéaire

Convergence (mathématiques)

Mots clés libres

Méthode de point intérieur

Problème de complémentarité linéaire

Problème de complémentarité non linéaire

Contrôle optimal

Méthode de régularisation

Méthode de Newton

Analyse semi-lisse

Convergence globale

Inside point method

Linear complementarity problem

Nonlinear complementarity problem

Optimal control

Adjustment method

Newton's method

Semi-smooth analysis

Global convergence

Résumé

Les problèmes de complémentarité interviennent dans de nombreux domaines scientifiques : économie, physique, transport, théorie des jeux et mathématiques. Dans cette thèse, on apporte plusieurs contributions théoriques, algorithmiques et numériques pour résoudre des problèmes de complémentarité et de contrôle optimal sous contraintes de complémentarité. On s’intéresse plus particulièrement aux méthodes de régularisation pour la résolution numérique de ces deux types de problèmes, où nous avons proposé de nouvelles techniques de régularisation. En effet, dans la première partie, nous nous sommes intéressés aux problèmes de contrôle optimal sous contraintes de complémentarité. Nous avons étudié les problèmes de contrôle optimal régis par les inégalités variationnelles elliptiques semi-linéaires impliquant des contraintes sur la variable d’état. Nous avons présenté un nouveau schéma de régularisation pour la contrainte de complémentarité. Nous avons prouvé l’existence de multiplicateurs de Lagrange. Ensuite, dans la deuxième partie, nous avons étudié les problèmes de complémentarité linéaire et non linéaire en proposant de nouvelles méthodes de régularisation pour résoudre ce genre de problèmes. L’idée de ces méthodes prend inspiration de la méthode des points intérieurs. Dans ce travail nous nous sommes concentrés sur les propriétés théoriques des algorithmes et leurs applications numériques.

Complementarity problems occur in many scientific fields: economics, physics, transport, game theory, and mathematics. In this thesis, we offer several theoretical, algorithmic, and numerical contributions to solve the complementarity problems and optimal control problems under complementarity constraints. We are particularly interested in the regularization methods for the numerical resolution of these types of problems, we have proposed new regularization techniques. Indeed, In the first part, we focused on optimal control problems under complementarity constraints. We studied optimal control problems governed by semi linear elliptic variational inequalities involving constraints on the state. We presented a new regularisation schema for the complementarity constraint. We proved that Lagrange multipliers exist. Then, in the second part, we have studied linear complementarity problems (LCPs) and nonlinear complementarity problems (NCPs) by proposing new methods of regularisation to solve these kind of problems. The idea of these methods takes inspiration from interior point methods. Throughout this manuscript, we have focused on the theoretical properties of algorithms and their digital applications.