Contributions à l'approche par programmation linéaire pour les jeux à champ moyen et applications aux marchés de l'électricité

Contributions to the linear programming approach for mean field games and its applications to electricity markets

• Auteur / Autrice : Marcos Leutscher de las Nieves
• Direction : Peter Tankov, Roxana Dumitrescu
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 08/12/2022
• Etablissement(s) : Institut polytechnique de Paris
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre de recherche en économie et statistique (France)
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : École nationale de la statistique et de l'administration économique (Palaiseau, Essonne)
• Jury : Président / Présidente : Nizar Touzi
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Peter Tankov, Roxana Dumitrescu, Nizar Touzi, Markus Fischer, Clémence Alasseur, Pierre Cardaliaguet
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Rainer Buckdahn, Markus Fischer

Mots clés

Mots clés contrôlés

Optimisation mathématique

Transition énergétique

Programmation linéaire

Arrêt optimal (statistique mathématique)

Théorie des jeux

Mots clés libres

Jeux à champ moyen

Arrêt optimal

Programmation linéaire en dimension infinie

Fictitious play

Transition énergétique

Bruit commun

Mean field games

Optimal stopping

Infinite-Dimensional linear programming

Fictitious play

Energy transition

Common noise

Résumé

Cette thèse présente trois contributions principales liées à l'approche de programmation linéaire pour les jeux à champ moyen (MFGs).La première partie de la thèse traite les aspects théoriques des MFGs permettant simultanément arrêt optimal, contrôle stochastique et absorption. En utilisant la formulation de programmation linéaire pour ce type de MFGs, un résultat général d'existence pour les équilibres de Nash MFG est dérivé sous des hypothèses faibles à travers du théorème de point fixe de Kakutani-Fan-Glicksberg. Nous montrons que cette méthode de relaxation est équivalente à l'approche par martingales contrôlées/arrêtées pour les MFG, une autre méthode de relaxation utilisée dans des articles précédents dans le cas du contrôle. De plus, sous des conditions appropriées, nous montrons que notre notion de solution satisfait un système d'équations différentielles partielles (EDP), ce qui permet de comparer nos résultats avec la littérature sur les EDP.La deuxième partie se concentre sur un algorithme numérique pour l'approximation de l'équilibre de Nash MFG en tirant profit de l'approche par programmation linéaire. La convergence de cet algorithme est démontrée pour deux classes de MFG, les MFG avec arrêt optimal et absorption, et les MFG avec contrôle stochastique et absorption. Le schéma numérique appartient à la classe des procédures d'apprentissage. En particulier, nous appliquons l'algorithme Fictitious Play où la meilleure réponse à chaque itération est calculée en résolvant un problème de programmation linéaire.La dernière partie de la thèse porte sur une application des MFGs à la dynamique long terme de l'industrie de l'électricité. Différents scénarios macroéconomiques et de politique climatique sont possibles pour les années à venir, or le scénario exact reste incertain. Par conséquent, les producteurs conventionnels ou renouvelables visant à sortir du marché ou à y entrer, respectivement, sont confrontés à l'incertitude concernant le prix du carbone et les politiques climatiques à venir. Les deux classes de producteurs interagissent par le biais du prix de l'électricité. Des stratégies d'équilibre de Nash sur des temps d'arrêt sont considérées et le problème est analysé à travers d'un modèle MFG. À cette fin, nous développons l'approche de programmation linéaire pour les MFG d'arrêt optimal avec bruit commun et information partielle en temps discret. Nous montrons l'existence d'un équilibre de Nash MFG et l'unicité du prix de marché en équilibre. Enfin, nous étendons l'algorithme numérique développé dans la deuxième partie de la thèse pour illustrer le modèle avec un exemple empirique inspiré du marché de l'électricité britannique.

This thesis presents three main contributions related to the linear programming approach for mean field games (MFGs).The first part of the thesis is concerned with the theoretical aspects of MFGs allowing simultaneously for optimal stopping, stochastic control and absorption. Using the linear programming formulation for this type of MFGs, a general existence result for MFG Nash equilibria is derived under mild assumptions by means of Kakutani-Fan-Glicksberg's fixed point theorem. This relaxation method is shown to be equivalent to the controlled/stopped martingale approach for MFGs, another relaxation method used in earlier papers in the pure control case. Furthermore, under appropriate conditions, we show that our notion of solution satisfies a partial differential equation (PDE) system, allowing to compare our results with the PDE literature.The second part focuses on a numerical algorithm for approximating the MFG Nash equilibrium taking advantage of the linear programming approach. The convergence of this algorithm is shown for two classes of MFG, MFGs with optimal stopping and absorption, and MFGs with stochastic control and absorption. The numerical scheme belongs to the class of learning procedures. In particular, we apply the Fictitious Play algorithm where the best response at each iteration is computed by solving a linear programming problem.The last part of the thesis deals with an application of MFGs to the long term dynamics of the electricity industry. Different macroeconomic and climate policy scenarios are possible for the coming years, and the exact scenario remains uncertain. Therefore, conventional or renewable producers aiming to exit or enter the market, respectively, are facing uncertainty about the future carbon price and climate policies. Both classes of producers interact through the electricity market price. Nash equilibrium strategies over stopping times are considered and the problem is analyzed through a MFG model. To this end, we develop the linear programming approach for MFGs of optimal stopping with common noise and partial information in discrete time. We show the existence of an MFG Nash equilibrium and the uniqueness of the equilibrium market price. Finally, we extend the numerical algorithm developed in the second part of the thesis to illustrate the model with an empirical example inspired by the UK electricity market.