Introduction de la norme Lp pour la prise en compte de propriétés de parcimonie en assimilation de données.

Introduction of the Lp-norm for the regularization in data assimilation

• Auteur / Autrice : Antoine Bernigaud
• Direction : Serge Gratton
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques Appliquées
• Date : Soutenance le 16/12/2022
• Etablissement(s) : Toulouse, INPT
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, informatique et télécommunications (Toulouse)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de Recherche en Informatique de Toulouse (1995-....)
• Jury : Président / Présidente : Hélène Roux
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Serge Gratton, Arthur Vidard, Didier Auroux, Mélanie, Catherine Rochoux, Pierre Tandeo
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Arthur Vidard, Didier Auroux

Mots clés

Mots clés contrôlés

Méthodologie

Ondelettes

Algorithmes

Espaces de Banach

Distribution gaussienne inverse

Mots clés libres

Assimilation de données variationnelle

4DVar

Optimisation

Régularisation

Base d’ondelettes

Parcimonie

Espace de Banach

Algorithmes de descente

Gradient conjugué non-linéaire

Descente miroir

Distribution gaussienne généralisée

Equations de Barré de Saint-Venant.

Norme Lp

Variational Data assimilation

4DVar

Optimisation

Regularization

Wavelet basis

Sparsity

Banach space

Descent algorithms

Nonlinear conjugate gradient

Mirror descent

Generalized Gaussian distribution

Shallow-water equations

Lp-norm

Résumé

Cette thèse s’intéresse à l’utilisation de la norme Lp, avec 1 < p < 2, comme terme de régularisation sur la fonctionnelle du 4DVar intervenant en assimilation de données variationnelle. Cette régularisation est motivée par la volonté, d’une part, d’effectuer un compromis entre les régularisations en norme L1 et L2 qui, respectivement, tendent à sélectionner une solution parcimonieuse/creuse (i.e. avec un nombre important de coefficients nuls) et une solution plus lisse. En effet, de nombreux signaux physiques possèdent une structure intermédiaire que l’on qualifie de quasi-creuse. D’autre part, l’utilisation de ce terme de pénalisation est également motivée, dans un cadre statistique bayésien, par les distributions que suivent certaines variables rencontrées en assimilation de données. Nous proposons notamment un algorithme de minimisation adaptée à cette fonctionnelle ainsi pénalisée, basée sur l’algorithme du gradient conjugué non-linéaire et sur les algorithmes de descente dans les espaces de Banach et étudions sa convergence théoriques. Les algorithmes proposés et la pénalisation sont testés sur une expérience d’assimilation de données basée sur les équations de Barré de Saint-Venant en deux dimensions.

This thesis studies the use of the Lp-norm, with 1 < p < 2, as a regularization term on the 4DVar arising in variational data assimilation. This regularization is motivated by the will of, on the one hand, doing a compromise between the regularization in L1 and L2-norms, which respectively select a sparse solution (i.e. with a important number of null coefficients) and a smoother solution. Indeed, a lot of physical signals have an intermediary structure that we call quasi-sparse. On the other hand, this penalization term is also motivated, in a Bayesian statistical framework, by the distributions that some variables encountered in data assimilation follow. We propose in particular a minimization algorithm adapted to this penalized functional based on both the nonlinear conjugate gradient and descent algorithms in Banach spaces and study its theoretical convergence. The proposed algorithm and the penalization are tested on a data assimilation setup based on the shallow-water equations.