Analyse spectrale d’opérateurs de Dirac sur des domaines bornés

Spectral analysis of Dirac operators on bounded domains

• Auteur / Autrice : Badreddine Benhellal
• Direction : Vincent Bruneau, Luis Vega Gonzalez
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques Pures
• Date : Soutenance le 06/07/2022
• Etablissement(s) : Bordeaux en cotutelle avec Universidad del País Vasco
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et informatique (Talence, Gironde ; 1991-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Bordeaux
• Jury : Président / Présidente : Simona Rota Nodari
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jean-Marie Barbaroux, Laurent Michel, Albert Mas
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Luz Roncal
• DOI : 10.70675/3263ca9czc03cz4a47z9716z9f047c5708b5

Mots clés

Mots clés contrôlés

Opérateurs de Dirac

Spectroscopie

Opérateurs différentiels

Mots clés libres

Opérateurs de Dirac

Delta interactions

Analyse spectrale

Extensions auto-adjointes

Couplage

Opérateurs de Poincaré-Steklov

Dirac operators

Shell interactions

Spectral Analysis

Self-adjoint extensions

Poincaré-Steklov operators

Large coupling limits.

Résumé

Cette thèse est consacrée à l'étude spectrale de deux types de perturbation singulières de l'opérateur libre de Dirac en dimension 3.Dans la première partie, nous nous intéressons au couplage de l’opérateur de Dirac avec une combinaison de delta interactions du type électrostatique, scalaire de Lorentz et magnétique, qui sont supportés soit sur des surfaces régulières et compactes ou sur des perturbations locales et régulières de l’hyperplan. Nous développons une approche basée sur des techniques de régularisations qui nous permettra de décrire pour toute combinaison des constantes d'interactions la réalisation auto-adjoint de l’opérateur considéré. Ensuite, nous étudions les propriétés spectrales qualitatives des différents modèles à l’aide d’un principe de Birmann-Schwinger et une formule de Krein qui relie la résolvante de l’opérateur perturbé avec celle de l'opérateur libre de Dirac, et nous portons une attention particulière au cas des combinaisons critiques de constantes de couplage et à celles qui donnent lieu au phénomène de confinement.Dans la deuxième partie, nous étudions le couplage de l’opérateur de Dirac avec une combinaison de delta interactions non critiques supportées sur des surfaces compactes non régulières. Dans un premier temps, nous généralisons les résultats obtenus dans le cadre des surfaces régulières au cas des surfaces qui coïncident localement avec le graphe d’une fonction Lipschitzienne dont les oscillations sont nulles en moyenne. Pour cela, nous utilisons des techniques d’analyse harmonique et la théorie du potentiel. De plus, nous mettons en lumière l'influence de la régularité de la surface supportant les delta interactions sur la régularité Sobolev du domaine de l’opérateur sous considération dans le cas des surfaces Hölderienne.Dans un second temps, nous considérons le cas de delta interactions supportées sur des surfaces satisfaisant certaines conditions topologiques faibles. Nous étudions d’abord l’opérateur de Dirac couplé avec les delta interactions électrostatique et scalaire de Lorentz supportées sur des surfaces uniformément rectifiables. Sous certains conditions sur les constantes de couplages, nous prouvons que l’opérateur perturbé est auto-adjoint et nous établissons plusieurs propriétés spectrales dans le cas Lipschitzienne. En particulier, on détermine le spectre essentiel de l’opérateur perturbé et on démontre qu’au plus un nombre fini de valeurs propres peut apparaître. Puis, nous adaptons ces résultats à d’autres interactions et nous dérivons plusieurs model d’opérateur de Dirac qui donnent lieu au phénomène de confinement.Dans la troisième partie de cette thèse, nous nous intéressons à l’étude des propriétés pseudodifférentiel d’opérateurs de Poincaré-Steklov (PS) associés à l’opérateur de Dirac avec la condition au bord dite MIT bag. Dans un premier temps, nous montrons que ces derniers s’inscrivent bien dans le cadre des opérateurs pseudodifférentiel classiques. Ensuite, nous étudions les opérateurs PS d’un point de vue d’opérateurs pseudodifférentiel semiclassique, où le paramètre semi-classique est donné par l’inverse de la masse. En particulier, à l’aide de certaines propriétés de régularités de l’opérateur MIT bag, nous montrons que les opérateurs PS sont des pseudo semi-classique d’ordre zéro et nous déterminons également leurs symboles principaux semi-classique. Dans un second temps, nous étudions le couplage de l’opérateur de Dirac avec un potentiel supporté à l'extérieur d’un domaine régulier et qui dépend d’une masse supplémentaire. Quand la masse est suffisamment grande, en utilisant le calcul symbolique et les propriétés des opérateurs PS, nous établissons une formule de Krein reliant la résolvante de l’opérateur perturbé avec celle de l’opérateur MIT bag. De plus, nous montrons que l'opérateur perturbé converge au sens de la norme de la résolvante vers l’opérateur MIT bag et nous donnons une estimation précise du taux de convergence.

This thesis is devoted to the spectral study of two types of singular perturbation of the Dirac operator.In the first part of this thesis, we consider the coupling of the Dirac operator with a combination of delta-shell interactions of electrostatic, Lorentz scalar, and magnetic type supported either on regular compact surfaces or locally deformed hyperplanes. We develop an approach based on regularization techniques that will allow us to describe the self-adjoint realization of the perturbed Dirac operator for any combination of the coupling constants. Then, we study the qualitative spectral properties of the different models using a Birmann-Schwinger principle and a Krein formula that relates the resolvent of the perturbed operator with that of the free Dirac operator, and we pay special attention to the case of critical combinations of coupling constants and those which give rise to the phenomenon of confinement.In the second part, we study the coupling of the Dirac operator with non-critical combinations of delta interactions supported on non-regular compact surfaces. First, we generalize the results obtained in the context of regular surfaces to the case of surfaces that locally coincide with the graph of a Lipschitz function with vanishing mean oscillations. For this, we use some techniques from harmonic analysis and potential theory. Moreover, in the case of Hölderian surfaces, we illustrate how the smoothness of the surface supporting the delta interactions influences the Sobolev regularity of the domain of the operator under consideration. In a second step, we consider delta-shell interactions supported on surfaces satisfying certain weak topological conditions. We first study the Dirac operator coupled with the electrostatic and Lorentz scalar delta-shell interactions supported on uniformly rectifiable surfaces. Under certain conditions on the coupling constants, we prove that the perturbed operator is self-adjoint and we establish several spectral properties in the Lipschitz case. In particular, we determine the essential spectrum of the perturbed operator and we show that at most a finite number of eigenvalues can appear in the gap. Moreover, we adapt these results to other delta-shell interactions and we derive several models of Dirac operators that give rise to the confinement phenomenon.In the third part of this thesis, we are interested in the study of the pseudodifferential properties of Poincaré-Steklov (PS) operators associated with the Dirac operator with the MIT bag boundary condition. First, we show that the PS operators fit well within the framework of classical pseudodifferential operators. Then, we study the PS operators from the point of view of semiclassical pseudodifferential operators, where the semiclassical parameter is given by the inverse of the mass. In particular, using some regularity properties of the MIT bag operator, we show that the PS operators are zero-order semiclassical pseudodifferential operators, and we determine their semiclassical principal symbols. In a second step, we study the Dirac operator coupled with a potential depending on an extra mass and supported outside a regular domain. When the mass is large enough, using the symbolic calculus and the properties of the PS operators, we establish a Krein formula relating the resolvent of the perturbed operator with that of the MIT bag operator. With its help, we show that the perturbed operator converges in the norm resolvent sense towards the MIT bag operator and we give a precise estimate of the convergence rate.